Berechne die folgenden bestimmten Integrale. Die Argumente der Sinusfunktion sind hier (wie meistens außerhalb geometrischer Sachverhalte) im Bogenmaß (rad) gemessen. a) $\int_{2.3}^{5.6} (3.6x^2+4.8x-8.8)\,dx $ b) $\int_{1.9}^{4.4} 2.1\cdot e^{0.66\cdot t} \,dt $ c) $\int_{0.17}^{1.04} \sin(3.1- 2.9 z) \,dz $

Berechne die folgenden bestimmten Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (ohne Computer). a) $\int_{-3.1}^{2.4} (7 x^2 - 6 x+5)\,dx$ b) $\int_{-2}^{4.5} 1.6\cdot e^{0.59\cdot t}\,dt$

Berechne mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (ohne Computer) das folgende Integral. Achtung: Die verschiedenen Variablen im Integrand und im Differential sind beabsichtigt. $$\int_{-8}^{9} (8 x-15)\,dt$$

Gib an, ob die folgenden Aussagen allgemein gültig sind oder nicht. allgemein gültig nicht allgemein gültig $\int_{-a}^b f(x)\,dx=-\int_{b}^{-a} f(x)\,dx$ allgemein gültig nicht allgemein gültig $\int_a^b \left( f(x)+g(x) \right)\,dx= \int_a^b f(x)\,dx +\int_a^b g(x)\,dx$ allgemein gültig nicht allgemein gültig $\int_a^b f(x)\cdot g(x)\,dx= \int_a^b f(x)\,dx \cdot \int_a^b g(x)\,dx$ allgemein gültig nicht allgemein gültig $\int_a^c f(x)\,dx= \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$ allgemein gültig nicht allgemein gültig $\int_a^b |\,f(x)\,|\,dx= \left| \int_a^b f(x)\,dx\right|$ allgemein gültig nicht allgemein gültig $\int_a^a f(x)\,dx=0$

Ermittle den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse im Intervall $[1.5,4.5]$ so genau wie möglich.

Vorgegeben ist die Funktionsgleichung $f(x)=2.8+1.7x^2-1.1x^4$. a) Berechne die beiden Nullstellen $x_1$ und $x_2$. b) Berechne den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse im Intervall $[x_1,x_2]$. c) Die Fläche aus Aufgabe b) soll durch eine vertikale Gerade so zerteilt werden, dass die rechte Teilfläche 39 % des gesamten Flächeninhalts aus Aufgabe b) besitzt. Bestimme die Stelle $x_T$, an welcher sich diese Gerade befinden muss. Für diese Aufgabe wird die Verwendung eines geeigneten Computerprogramms empfohlen.

Diese Aufgabe sollte vollständig mit Hilfe eines geeigneten Computerprogramms gelöst werden. Die Funktion $A(t)=3.9\cdot 0.66^t \cdot \sin(2.7t)$ wird ausschließlich im Intervall $[0,\infty)$ betrachtet. Das Funktionsargument des Sinus wird hier im Bogenmaß (rad) gemessen. a) Ermittle das globale Maximum dieser Funktion (beide Koordinaten). Diese Aufgabe muss nicht zwingend analytisch gelöst werden. b) Berechne die sechste Nullstelle, also jene Nullstelle, bei welcher die fünfte Teilfläche endet. c) Berechne den absoluten Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse im Intervall $[0,x_6]$, also die Summe der Flächeninhalte der ersten fünf Teilflächen.

In folgender Abbildung ist der blaue Funktionsgraph die obere Hälfte des Einheitskreises $f(x)=\sqrt{1-x^2}$. Der rote Graph ist jener der Funktion $g(x) = –x^4 + 1$.

Argumentiere anhand mathematischer Berechnungen, welcher Funktionsgraph zusammen mit der x-Achse im Intervall $[-1;1]$ den größeren Flächeninhalt einschließt.

Die Breite der Sporthalle „The Wave“ in Singapur (siehe Foto, Bildquelle: https://www.structure-magazin.de/artikel/the-wave-sporthalle-in-singapur-32322/) beträgt 72 m (jene Seite, die am Foto sichtbar ist). Das Dach entspricht einer quadratischen Parabel. Es ist an den Seiten ca. 17 m hoch und in der Mitte ungefähr 27 m hoch. Die Länge der Halle beträgt 42 m.

a) Erstelle eine quadratische Funktion, durch welche der Verlauf des Daches beschrieben werden kann. Die Funktion soll symmetrisch bezüglich der y-Achse sein (um den Rechenaufwand gering zu halten). b) Berechne das Volumen der Halle.

Die Form eines Wassertrogs kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion $f(x)=56x^4$ beschrieben werden, wobei $x$ und $f(x)$ in Metern gemessen wird. Die Breite des Trogs beträgt oben 51 cm und die Länge ist 1.8 m. a) Berechne, wie viel Wasser in den Trog passt, wenn dieser randvoll gefüllt wird. b) Berechne, wie viel Wasser in den Trog passt, wenn dieser bis 5 cm unter dem Rand gefüllt wird.

Es sind die Exponentialfunktion $f(x)=0.4\cdot 1.79^x$ und das Intervall $[x_1, x_2]=[2.8,5.2]$ gegeben. Es soll anhand dieser Informationen der Flächeninhalt $A$ der in der nachfolgenden (nicht maßstabsgetreuen) Skizze grau markierten Fläche berechnet werden.

a) Gib das Intervall $[y_1,y_2]$ an. b) Bestimme die Funktionsgleichung der zugehörigen Umkehrfunktion. c) Berechne den Flächeninhalt der Fläche $A$.

Nachfolgend ist der Funktionsgraph einer Funktion abgebildet.Skizziere im selben Koordinatensystem den Funktionsgraphen einer zugehörigen Stammfunktion.

Nachfolgend ist der Funktionsgraph einer Funktion abgebildet.Skizziere im selben Koordinatensystem den Funktionsgraphen einer zugehörigen Stammfunktion.

Unten ist der Graph der Funktion $f$ im Intervall $[0;3]$ abgebildet. Zeichne den Graphen einer möglichen Stammfunktion von $f$.

An einem bestimmten Tag wurde die Dosisleistung im Inneren eines Atomkraftwerks durch folgende Funktion beschrieben: $$f(t)=8.2\cdot 10^{-4}\cdot t^3-3.55\cdot 10^{-2}\cdot t^2+0.362\cdot t+1.25$$ Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden, wobei $t=0$ für 0:00 Uhr und $t=24$ für 24:00 Uhr steht. Der Funktionswert $f(t)$ gibt die momentane Dosisleistung in Mikrosievert pro Stunde (µSv/h) an. a) Ein Arbeiter befand sich von 15 Uhr bis 19 Uhr im Atomkraftwerk. Berechne, welche Dosis er über diesen Zeitraum hinweg insgesamt aufgenommen hat. Die Dosis ist das bestimmte Integral der Dosisleistung über einen bestimmten Zeitraum hinweg. b) Zu welcher Uhrzeit war die Dosisleistung an diesem Tag am größten? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an (gegebenenfalls inklusive führender Nullen). Für Aufgabe e) ist es außerdem sinnvoll, auch den Maximalwert zu bestimmen. c) Laut Sicherheitsbestimmungen, darf eine Person pro Tag nur 20 µSv aufnehmen. Jemand begann um 2:30 Uhr im Atomkraftwerk zu arbeiten. Um welche Uhrzeit musste er die Arbeit beenden? Gib das Ergebnis erneut im Format HH:MM an (gegebenenfalls inklusive führender Nullen). d) Berechne den linearen Mittelwert der Dosisleistung über den gesamten Tag hinweg. e) Um wie viel Prozent lag die maximale Dosisleistung über der mittleren Dosisleistung?

Es ist die Funktionsgleichung $u(t)=20\cdot (1-0{,}8^t)$ gegeben. a) Erstelle eine Formel, mit welcher der lineare Mittelwert dieser Funktion im Intervall $[3;~10]$ berechnet werden kann. b) Der Graph der Funktion $u$ soll um 3 nach rechts verschoben werden. Bestimme die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion $u_2$.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=7.8x-3.3x^2$. a) Berechne den Flächeninhalt, den der Funktionsgraph zwischen den beiden Nullstellen mit der $x$-Achse einschließt. b) Berechne, an welcher Stelle sich eine senkrechte Gerade befinden muss, um die Fläche aus a) im Verhältnis 2:1 zu teilen, wobei der linke Teil der größere Teil ist. c) Berechne, in welcher Höhe sich eine waagrechte Gerade befinden muss, um die Fläche aus a) in zwei gleiche Teile zu teilen.

Das in Europa, Australien und großen Teilen Asiens verwendete Stromnetz hat eine Frequenz von 50 Hz und eine Scheitelspannung von 325 V. Der zeitliche Spannungsverlauf kann somit durch die Funktion $U(t)=325\cdot \sin(2\pi t\cdot 50)$ beschrieben werden. Die Effektivspannung $\hat U$ ist jene Gleichspannung, die am selben Widerstand pro Periode die gleiche elektrische Energie liefert, wie die betrachtete Wechselspannung. Diese Energie ist proportional zur elektrischen Leistung und somit wiederum proportional zu $U^2$. Berechne die Effektivspannung der gegebenen Wechselspannung.

Schätze den Inhalt der grau dargestellten Fläche möglichst genau.

Von einer Polynomfunktion 3. Grades ist bekannt, dass die zweite Ableitung $p''(x)=9 x-2$ lautet und dass der Funktionsgraph der Funktion $p$ durch die Punkte $(-4 \mid 3)$ und $(5 \mid -6)$ verläuft. Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung in der Form $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ mit einem geeigneten Computerprogramm.

Der Querschnitt eines zweispurigen Tunnels wird durch die Funktion $f(x)=4.85-5.7\cdot 10^{-4}\cdot x^6$ beschrieben, wobei $x$ und $f(x)$ in Metern gemessen werden und sich die Straße bei Höhe 0 befindet. Die Gesamtlänge des Tunnels beträgt 481 m. a) Berechne die Bodenbreite des Tunnels. b) Ermittle die Gesamtoberfläche der Tunnelwand (nur seitlich und oben, also ohne Straße). c) Berechne, wie viel Material benötigt wird, wenn pro Quadratmeter 5.4 kg Putz aufgetragen werden.