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Aufgaben zur Differentialrechnung


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Differentialrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

Mathematischer Hintergrund

Die Differentialrechnung beschäftigt sich im Wesentlichen mit der lokalen Veränderungen von Funktionen. Der zentrale Begriff ist dabei die Ableitungsfunktion, welche einer gegebenen differenzierbaren Funktion ihre lokale Steigung zuordnet. Darauf aufbauend kann ebenso der Steigungswinkel und die Krümmung der Funktion ermittelt werden.

Anwendungsgebiete

Die Differentialrechnung hat zahlreiche inner- und außermathematische Einsatzgebiete. Beispielsweise kann die Ableitungsfunktion verwendet werden, um Hochpunkte und Tiefpunkte von Funktionen zu bestimmen (da dort die Steigung und somit die Ableitung null ist). Auf diese Weise kann man durch Ermitteln des lokalen Minimums bzw. Maximums auch reale Sachverhalte optimieren (z. B. minimale Produktionskosten, maximaler Gewinn, kürzester Weg). Auch in den Naturwissenschaften spielen Ableitungsfunktionen eine wesentliche Rolle. Beispielsweise ist die Momentangeschwindigkeit eines Objektes die momentane Änderung des Weges (also die Ableitung der Wegfunktion).

1. Änderungsmaße

Es soll die Funktion $f(x)=3.8\cdot 1.36^x$ im Intervall $[2, 7]$ untersucht werden.
a) Berechne die absolute Änderung in diesem Intervall!
b) Berechne die relative Änderung in diesem Intervall!
c) Berechne die mittlere Änderungsrate (den Differenzenquotient) in diesem Intervall!
d) Berechne die lokale Änderungsrate (den Differentialquotient) an der Stelle 6!

2. Ableitungsfunktion

Gegeben ist die Polynomfunktion $f(x)=3 x^4+ 4 x^3- 5x^2 +4x-19$. Berechne die folgenden Ableitungen:
a) $~~f'(4)$
b) $~~f''(-5)$
c) $~~f'''(2)$

Berechne jeweils $f'(3.49)$ der folgenden Funktionen!
a) $f(x)=x^5\cdot 1.91^x$
b) $f(x)=\sqrt[6]{3 x^7}$
c) $f(x)=\frac{x}{x^2+4.1}$
d) $f(x)=\sqrt{x^2+6 x+23}$
e) $f(x)=e^{-(x-2.6)^2}$

#1117 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Berechne die ersten vier Ableitungen der folgenden Funktion. Vereinfache so weit wie möglich. $$f(x)=1+\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot \ln(x)-\frac{x^2}{4}$$

Es ist die Funktionsgleichung einer logistischen Funktion gegeben: $$N(t)=\frac{754}{1+26\cdot 0.81^t}$$ Ermittle die zugehörige Ableitungsfunktion $N'$ und vereinfache diese so weit wie möglich.

#1383 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=e^{-(x-2.3)^2}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

#1384 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=x^2\cdot 2.13^x$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

#1385 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt[5]{4 x^8}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

#1386 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=\frac{x}{x^2+2.9}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

#1387 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt{6x^2+6 x+12}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

3. Steigungswinkel

Es ist die Funktion $f(x)=8x^2-7x+18$ gegeben. Berechne den Steigungswinkel an der Stelle 4.3 in Grad.

Das Profil der unten abgebildeten Halfpipe wird durch die Funktion $f(x)=0.067 \,x^4$ beschrieben. Dabei werden $x$ und $f(x)$ in Metern gemessen.

a) Berechne die Breite $b$ der Halfpipe, wenn diese die Höhe $h=2.0\,\text{m}$ besitzen soll.
b) Berechne den maximalen Steigungswinkel $\alpha$.

Berechne, an welchen Stellen die Funktion $f(x)=1.14x^3-5.28x^2+4.99x-2.54$ den Steigungswinkel 60° besitzt.

Es sind die beiden Funktionen $f(x)=1.76\cdot 1.246^x$ und $g(x)=2.13\cdot 0.789^x$ vorgegeben.
a) Berechne beide Koordinaten des Schnittpunkts.
b) Berechne den Betrag des kleineren Schnittwinkels ($\,\leq 90^°$) der beiden Funktionsgraphen.

4. Bewegungsaufgaben

Eine U-Bahn startet zum Zeitpunkt $t=0$ in Station A und bewegt sich gemäß der Wegfunktion $s(t)=-0.0135\,t^3+0.909 \,t^2$ zur Station B. Dabei wird $t$ in Sekunden und $s(t)$ in Meter gemessen.
a) Berechne, nach welcher Zeit die U-Bahn in Station B zum Stillstand kommt und welchen Weg sie zwischen den beiden Stationen zurückgelegt hat.
b) Welche Höchstgeschwindigkeit (in km/h) erreicht die U-Bahn bei dieser Fahrt?
c) Berechne die mittlere Geschwindigkeit (in km/h) im Zeitintervall $[5.6, 15]$ (gemessen in Sekunden).
d) Berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt des Losfahrens.

#984 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Für die ersten Sekunden nach dem Absprung gilt für einen Fallschirmspringer näherungsweise die folgende Formel für den freien Fall, da hier der Luftwiderstand noch keine große Rolle spielt: $$s(t)=\frac{g}{2}\cdot t^2$$ Dabei ist $t$ die Zeit nach dem Absprung (gemessen in Sekunden), $g=9{,}81\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$ ist die Gravitationsbeschleunigung und $s(t)$ ist der zurückgelegte Weg (gemessen in Metern).
a) Bestimme die Geschwindigkeitsfunktion des Fallschirmspringers.
b) Berechne die Geschwindigkeit, die der Fallschirmspringer nach 4.7 s hat.
c) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit, welche er im Zeitintervall $[2.4\,\textrm{s};~ 5.2\,\textrm{s}]$ hat.
d) Wie lange dauert es, bis er 60 m zurückgelegt hat?

Die Höhe einer Feuerwerksrakete wird näherungsweise durch die Funktion $h(t)=12 t^2$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit (in Sekunden) nach dem Start und $h(t)$ die zugehörige Höhe (in Metern) sind. Die Rakete explodiert 3.2 s nach dem Start.
a) Berechne, in welcher Höhe die Rakete explodiert.
b) Berechne, welche Geschwindigkeit die Rakete zum Zeitpunkt der Explosion hat.
c) Berechne die Beschleunigung der Rakete.
d) Wie lange dauert es, bis eine Höhe von 41 m erreicht wurde?
e) Nach welcher Zeit wurde eine Geschwindigkeit von 100 km/h erreicht? Achte auf die Einheiten!

5. Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Es ist die Funktion $f(x)=4.9- 2.4 x^2$ gegeben. Finde jenes achsenparallele Rechteck, das zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse den größten Flächeninhalt besitzt.


Eine dreiteilige zylindrische Konservendose besteht aus zwei kreisförmigen Deckeln und einem röhrenförmigen Dosenkörper (der sogenannten Zarge). Für ein neues Produkt soll eine Dose mit einem Inhalt von 550 mL entworfen werden. Das Material für die beiden Deckel kostet 11.5 €/m² und das Material für den Dosenkörper kostet 9.2 €/m². Berechne, bei welcher Kombination von Radius und Höhe die Materialkosten der Dose am geringsten sind. Berechne außerdem diese minimalen Materialkosten.

6. Vermischte Aufgaben

Gegeben ist die Funktionsgleichung $f(x)=5.2\cdot 0.58^x$. Bestimme die Gleichung der Tangente $t(x)=k\cdot x+d$, welche den Graphen von $f$ an der Stelle 6 berührt.

#322 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Koordinaten $(\,x_S\mid y_S\,)$ des Scheitelpunktes der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2+ bx + c$ können durch die Formeln $x_S=-\frac{b}{2a}$ und $y_S=\frac{4ac-b^2}{4a}$ berechnet werden. Leite diese Formeln her, indem du die Differentialrechnung verwendest.

#1322 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Nachfolgend ist ein Funktionsgraph abgebildet, in welchem sechs Punkte markiert wurden.

Ordne jeder der folgenden Aussagen den passenden Punkt zu:
  ▪  $f(x)>0,~~ f'(x)<0,~~ f''(x)<0~~~$
  ▪  $f(x)>0,~~ f'(x)=0,~~ f''(x)<0~~~$
  ▪  $f(x)<0,~~ f'(x)>0,~~ f''(x)>0~~~$
  ▪  $f(x)<0,~~ f'(x)=0,~~ f''(x)>0~~~$
  ▪  $f(x)<0,~~ f'(x)<0,~~ f''(x)<0~~~$
  ▪  $f(x)>0,~~ f'(x)>0,~~ f''(x)<0~~~$