Es soll die Funktion $f(x)=4.9\cdot 1.37^x$ im Intervall $[4, 7]$ untersucht werden. a) Berechne die absolute Änderung in diesem Intervall! b) Berechne die relative Änderung in diesem Intervall! c) Berechne die mittlere Änderungsrate (den Differenzenquotient) in diesem Intervall! d) Berechne die lokale Änderungsrate (den Differentialquotient) an der Stelle 4!

Gegeben ist die Polynomfunktion $f(x)=5 x^4+ 2 x^3- 9x^2 +8x-17$. Berechne die folgenden Ableitungen: a) $~~f'(3)$ b) $~~f''(-6)$ c) $~~f'''(5)$

Berechne jeweils $f'(3.54)$ der folgenden Funktionen! a) $f(x)=x^3\cdot 1.92^x$ b) $f(x)=\sqrt[4]{5 x^5}$ c) $f(x)=\frac{x}{x^2+3.3}$ d) $f(x)=\sqrt{x^2+2 x+12}$ e) $f(x)=e^{-(x-2.4)^2}$

Berechne die ersten vier Ableitungen der folgenden Funktion. Vereinfache so weit wie möglich. $$f(x)=1+\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot \ln(x)-\frac{x^2}{4}$$

Es ist die Funktionsgleichung einer logistischen Funktion gegeben: $$N(t)=\frac{555}{1+35\cdot 0.57^t}$$ Ermittle die zugehörige Ableitungsfunktion $N'$ und vereinfache diese so weit wie möglich.

Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=e^{-(x-2.7)^2}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=x^4\cdot 2.09^x$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt[3]{5 x^6}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=\frac{x}{x^2+4.1}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt{3x^2+4 x+25}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

Gegeben ist die kubische Funktion $f(x)=0.271 x^3-3.62 x^2 + 8 x-12.8$. Diese Funktion besitzt einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt. Berechne jeweils beide Koordinaten dieser Punkte!

Es ist die folgende logistische Wachstumsfunktion gegeben: $$f(x)=\frac{573}{1+22 \cdot 0.796^x }$$ a) Berechne die Koordinaten des Wendepunktes! Diese Aufgabe sollte mit Computereinsatz durchgeführt werden. b) Berechne die maximale Steigung!

Ergänze den Koeffizienten $c$ der kubischen Funktion $f(x)=5 x^3+ c\,x^2-2 x+23 $ so, dass die Funktion an der Stelle 4.3 einen Wendepunkt besitzt.

Die Koordinaten $(\,x_S\mid y_S\,)$ des Scheitelpunktes der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2+ bx + c$ können durch die Formeln $x_S=-\frac{b}{2a}$ und $y_S=\frac{4ac-b^2}{4a}$ berechnet werden. Leite diese Formeln her, indem du die Differentialrechnung verwendest.

Ermittle die Koordinaten des Tiefpunkts der Funktion $f(x)=x^x$.

Es ist die folgende Funktionsgleichung gegeben: $$f(x)= \frac{3 x^2 -2}{4-2 x} +5$$ a) Ermittle die Ableitungsfunktion von $f$. Gib einen vollständigen Rechenweg an und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich. b) Berechne die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte. c) Erkläre nachvollziehbar, wie man ohne Computerprogramm herausfinden kann, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt.

Gegeben ist die Funktionsgleichung $f(x)=4.8\cdot 0.54^x$. Bestimme die Gleichung der Tangente $t(x)=k\cdot x+d$, welche den Graphen von $f$ an der Stelle 5.6 berührt.

Es ist die Funktion $f(x)=2x^2-3x+22$ gegeben. Berechne den Steigungswinkel an der Stelle 4.8 in Grad.

Das Profil der unten abgebildeten Halfpipe wird durch die Funktion $f(x)=0.063 \,x^4$ beschrieben. Dabei werden $x$ und $f(x)$ in Metern gemessen.

a) Berechne die Breite $b$ der Halfpipe, wenn diese die Höhe $h=2.0\,\text{m}$ besitzen soll. b) Berechne den maximalen Steigungswinkel $\alpha$.

Berechne, an welchen Stellen die Funktion $f(x)=1.19x^3-5.23x^2+4.9x-2.33$ den Steigungswinkel 70° besitzt.

Es sind die beiden Funktionen $f(x)=1.64\cdot 1.201^x$ und $g(x)=2.17\cdot 0.765^x$ vorgegeben. a) Berechne beide Koordinaten des Schnittpunkts. b) Berechne den Betrag des kleineren Schnittwinkels ($\,\leq 90^°$) der beiden Funktionsgraphen.

Zeichne den Graphen der zur Funktion $g$ gehörenden Ableitungsfunktion.

Zeichne den Graphen der zur Funktion $f$ gehörenden Ableitungsfunktion.

Zeichne den Graphen der zur Funktion $f$ gehörenden Ableitungsfunktion.

Nachfolgend ist der Graph einer kubischen Funktion abgebildet.

Verwende die Punkte $A$ und $B$, um die Funktionsgleichung dieser Funktion zu bestimmen.

Eine U-Bahn startet zum Zeitpunkt $t=0$ in Station A und bewegt sich gemäß der Wegfunktion $s(t)=-0.013\,t^3+0.923 \,t^2$ zur Station B. Dabei wird $t$ in Sekunden und $s(t)$ in Meter gemessen. a) Berechne, nach welcher Zeit die U-Bahn in Station B zum Stillstand kommt und welchen Weg sie zwischen den beiden Stationen zurückgelegt hat. b) Welche Höchstgeschwindigkeit (in km/h) erreicht die U-Bahn bei dieser Fahrt? c) Berechne die mittlere Geschwindigkeit (in km/h) im Zeitintervall $[4.8, 13.9]$ (gemessen in Sekunden). d) Berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt des Losfahrens.

Eine U-Bahn benötigt für die Fahrt von einer Station zur nächsten Station 55 Sekunden. Der Abstand der Stationen beträgt 677 m. a) Erstelle eine Weg-Zeit-Funktion $s$ in Form einer Polynomfunktion dritten Grades (kubische Funktion). Dabei ist $t$ die Zeit in Sekunden nach dem Losfahren und $s(t)$ der zurückgelegte Weg in Metern. Verwende jeweils den zurückgelegten Weg und die Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten $t=0$ und $t=55$ s. b) Berechne gemäß dieser Funktion die Maximalgeschwindigkeit der U-Bahn in der Einheit km/h. c) Berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt des Losfahrens.

Für die ersten Sekunden nach dem Absprung gilt für einen Fallschirmspringer näherungsweise die folgende Formel für den freien Fall, da hier der Luftwiderstand noch keine große Rolle spielt: $$s(t)=\frac{g}{2}\cdot t^2$$ Dabei ist $t$ die Zeit nach dem Absprung (gemessen in Sekunden), $g=9{,}81\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$ ist die Gravitationsbeschleunigung und $s(t)$ ist der zurückgelegte Weg (gemessen in Metern). a) Bestimme die Geschwindigkeitsfunktion des Fallschirmspringers. b) Berechne die Geschwindigkeit, die der Fallschirmspringer nach 4.4 s hat. c) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit, welche er im Zeitintervall $[2.5\,\textrm{s};~ 5.3\,\textrm{s}]$ hat. d) Wie lange dauert es, bis er 85 m zurückgelegt hat?

Die Höhe einer Feuerwerksrakete wird näherungsweise durch die Funktion $h(t)=12.3 t^2$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit (in Sekunden) nach dem Start und $h(t)$ die zugehörige Höhe (in Metern) sind. Die Rakete explodiert 3.1 s nach dem Start. a) Berechne, in welcher Höhe die Rakete explodiert. b) Berechne, welche Geschwindigkeit die Rakete zum Zeitpunkt der Explosion hat. c) Berechne die Beschleunigung der Rakete. d) Wie lange dauert es, bis eine Höhe von 45 m erreicht wurde? e) Nach welcher Zeit wurde eine Geschwindigkeit von 100 km/h erreicht? Achte auf die Einheiten!

Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=5.8- 2.1 x^2$ gegeben. Finde jenes achsenparallele Rechteck, das zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse den größten Flächeninhalt besitzt.

Eine dreiteilige zylindrische Konservendose besteht aus zwei kreisförmigen Deckeln und einem röhrenförmigen Dosenkörper (der sogenannten Zarge). Für ein neues Produkt soll eine Dose mit einem Inhalt von 200 mL entworfen werden. Das Material für die beiden Deckel kostet 11.08 €/m² und das Material für den Dosenkörper kostet 9.3 €/m². Berechne, bei welcher Kombination von Radius und Höhe die Materialkosten der Dose am geringsten sind. Berechne außerdem diese minimalen Materialkosten.

Während des Beschleunigens eines Fahrzeuges wird dessen zurückgelegter Weg durch die Funktionsgleichung $s(t)=0.8 t^2$ beschrieben. Dabei wird $t$ in Sekunden und $s(t)$ in Metern gemessen. Berechne die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall $[2\,\mathrm{s}; 5\,\mathrm{s}]$ in der Einheit km/h.

Nachfolgend ist der Graph der Funktion $f(x)=1+2x^2-\frac{1}{2}\,x^4$ abgebildet.

Kreuze jeweils an, ob die Aussage wahr oder falsch ist. wahr falsch Die Funktion $f$ ist im Intervall $[1; 2]$ streng monoton wachsend. wahr falsch An der Stelle 1 beträgt der Steigungswinkel des Funktionsgraphen ca. 57,3°. wahr falsch Für beliebige $x$ gilt $f(-x)=f(x)$. wahr falsch Die beiden Hochpunkte befinden sich exakt an den Stellen $\pm 1{,}5$. wahr falsch Der Graph der ersten Ableitungsfunktion besitzt genau zwei Nullstellen. wahr falsch Der horizontale Abstand der beiden Wendepunkte beträgt ca. 1,63.

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. wahr falsch Die Funktion $f(x)=3^x$ ist durchgehend linksgekrümmt. wahr falsch Die Funktion $f(x)=x^4$ hat an der Stelle 0 einen Wendepunkt. wahr falsch Die Funktion $f(x)=2^x\cdot x^2$ besitzt genau zwei Wendepunkte. wahr falsch Die Funktion $f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}$ ist im Intervall $[2,5]$ streng monoton fallend. wahr falsch Die Funktion $f(x)=x^3-6x^2+12x-3$ besitzt einen Sattelpunkt. wahr falsch Die Funktion $f(x)=-\frac{5}{16}x^3+\frac{15}{4}x$ besitzt den Hochpunkt $(\, 5 \mid 2 \,)$.

Nachfolgend ist ein Funktionsgraph abgebildet, in welchem sechs Punkte markiert wurden.

Ordne jeder der folgenden Aussagen den passenden Punkt zu:   ▪  $f(x)>0,~~ f'(x)<0,~~ f''(x)<0~~~$   ▪  $f(x)>0,~~ f'(x)=0,~~ f''(x)<0~~~$   ▪  $f(x)<0,~~ f'(x)>0,~~ f''(x)>0~~~$   ▪  $f(x)<0,~~ f'(x)=0,~~ f''(x)>0~~~$   ▪  $f(x)<0,~~ f'(x)<0,~~ f''(x)<0~~~$   ▪  $f(x)>0,~~ f'(x)>0,~~ f''(x)<0~~~$