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Aufgaben zur Differentialrechnung


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Differentialrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

1. Änderungsmaße

Es soll die Funktion $f(x)=4.5\cdot 1.31^x$ im Intervall $[5, 9]$ untersucht werden.
a) Berechne die absolute Änderung in diesem Intervall! [2]
b) Berechne die relative Änderung in diesem Intervall! [2]
c) Berechne die mittlere Änderungsrate (den Differenzenquotient) in diesem Intervall! [2]
d) Berechne die lokale Änderungsrate (den Differentialquotient) an der Stelle 6! [2]

2. Ableitungsfunktion

Gegeben ist die Polynomfunktion $f(x)=5 x^4+ 4 x^3- 7x^2 +8x-15$. Berechne die folgenden Ableitungen:
a) $~~f'(5)=$ [0]
b) $~~f''(-3)=$ [0]
c) $~~f'''(3)=$ [0]

Berechne jeweils $f'(3.59)$ der folgenden Funktionen!
a) $f(x)=x^3\cdot 2.67^x$
[2]
b) $f(x)=\sqrt[6]{2 x^7}$
[3]
c) $f(x)=\frac{x}{x^2+3.6}$
[4]
d) $f(x)=\sqrt{x^2+2 x+28}$
[3]
e) $f(x)=e^{-(x-2.4)^2}$
[3]

#1117 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Berechne die ersten vier Ableitungen der folgenden Funktion. Vereinfache so weit wie möglich und gib einen vollständigen Lösungsweg an. $$f(x)=1+\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot \ln(x)-\frac{x^2}{4}$$
1. Ableitung:
2. Ableitung:
3. Ableitung:
4. Ableitung:

Es ist die Funktionsgleichung einer logistischen Funktion gegeben: $$N(t)=\frac{778}{1+35\cdot 0.59^t}$$ Ermittle die zugehörige Ableitungsfunktion $N'$ und vereinfache diese so weit wie möglich. Erstelle ein Foto des vollständigen Rechenweges.
Ableitungsfunktion (inkl. Rechenweg):

#1383 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=e^{-(x-1.5)^2}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion durch handschriftliche Rechnung und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

#1384 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=x^3\cdot 1.73^x$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion durch handschriftliche Rechnung und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

#1385 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt[7]{2 x^2}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion durch handschriftliche Rechnung und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

#1386 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=\frac{x}{x^2+4.2}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion durch handschriftliche Rechnung und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

#1387 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt{5x^2+4 x+23}$ gegeben. Ermittle die Ableitungsfunktion durch handschriftliche Rechnung und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

3. Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt

Gegeben ist die kubische Funktion $f(x)=0.279 x^3-3.59 x^2 + 7.7 x-17.8$. Diese Funktion besitzt einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt. Berechne jeweils beide Koordinaten dieser Punkte!
Hochpunkt: $x=$ [3], $y=$ [2]
Tiefpunkt: $x=$ [3], $y=$ [2]
Wendepunkt: $x=$ [3], $y=$ [2]

Es ist die folgende logistische Wachstumsfunktion gegeben: $$f(x)=\frac{689}{1+22 \cdot 0.733^x }$$
a) Berechne die Koordinaten des Wendepunktes! Diese Aufgabe sollte mit Computereinsatz durchgeführt werden.
$x=$ [4], $y=$ [2]
b) Berechne die maximale Steigung!
maximale Steigung: [2]

Ergänze den Koeffizienten $c$ der kubischen Funktion $f(x)=7 x^3+ c\,x^2-4 x+13 $ so, dass die Funktion an der Stelle 6.1 einen Wendepunkt besitzt.
Ergebnis: $c=\,$ [3]

#322 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Koordinaten $(\,x_S\mid y_S\,)$ des Scheitelpunktes der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2+ bx + c$ können durch die Formeln $x_S=-\frac{b}{2a}$ und $y_S=\frac{4ac-b^2}{4a}$ berechnet werden. Leite diese Formeln her, indem du die Differentialrechnung verwendest. Erstelle jeweils ein Bild des vollständigen Rechenweges.
Formel für $x_s$ (inkl. Rechenweg):
Formel für $y_s$ (inkl. Rechenweg):

#538 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Ermittle die Koordinaten des Tiefpunkts der Funktion $f(x)=x^x$.
$x$-Koordinate: [3]
$y$-Koordinate: [3]

#1382 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die folgende Funktionsgleichung gegeben: $$f(x)= \frac{3 x^2 -2}{4-2 x} +5$$
a) Ermittle die Ableitungsfunktion von $f$ durch handschriftliche Rechnung. Gib einen vollständigen Rechenweg an und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
b) Berechne die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte.
Hochpunkt: $x=$ [2], $y=$ [2]
Tiefpunkt: $x=$ [2], $y=$ [2]
c) Erkläre nachvollziehbar, wie man ohne Computerprogramm herausfinden kann, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt.

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4. Tangente und Sekante

Gegeben ist die Funktionsgleichung $f(x)=4.9\cdot 0.53^x$. Bestimme die Gleichung der Tangente $t(x)=k\cdot x+d$, welche den Graphen von $f$ an der Stelle 4.4 berührt.
$k=$ [2]
$d=$ [2]

5. Steigungswinkel

Es ist die Funktion $f(x)=2x^2-5x+12$ gegeben. Berechne den Steigungswinkel an der Stelle 4.8 in Grad.
Steigungswinkel: [2]

Das Profil der unten abgebildeten Halfpipe wird durch die Funktion $f(x)=0.063 \,x^4$ beschrieben. Dabei werden $x$ und $f(x)$ in Metern gemessen.

a) Berechne die Breite $b$ der Halfpipe, wenn diese die Höhe $h=2.2\,\text{m}$ besitzen soll.
Breite: [3] m
b) Berechne den maximalen Steigungswinkel $\alpha$.
Winkel: [1] Grad

Berechne, an welchen Stellen die Funktion $f(x)=1.2x^3-5.19x^2+4.94x-1.49$ den Steigungswinkel 40° besitzt.
Linke Stelle: [2]
Rechte Stelle: [2]

Es sind die beiden Funktionen $f(x)=1.86\cdot 1.186^x$ und $g(x)=2.21\cdot 0.825^x$ vorgegeben.
a) Berechne beide Koordinaten des Schnittpunkts.
$x$-Koordinate: [3]
$y$-Koordinate: [2]
b) Berechne den Betrag des kleineren Schnittwinkels ($\,\leq 90^°$) der beiden Funktionsgraphen.
Winkel (in Grad): [1]

6. Bewegungsaufgaben

Eine U-Bahn startet zum Zeitpunkt $t=0$ in Station A und bewegt sich gemäß der Wegfunktion $s(t)=-0.0136\,t^3+0.935 \,t^2$ zur Station B. Dabei wird $t$ in Sekunden und $s(t)$ in Meter gemessen.
a) Berechne, nach welcher Zeit die U-Bahn in Station B zum Stillstand kommt und welchen Weg sie zwischen den beiden Stationen zurückgelegt hat.
Fahrzeit: [2] s
Strecke: [1] m
b) Welche Höchstgeschwindigkeit (in km/h) erreicht die U-Bahn bei dieser Fahrt?
Höchstgeschwindigkeit: [1] km/h
c) Berechne die mittlere Geschwindigkeit (in km/h) im Zeitintervall $[4.1, 13.8]$ (gemessen in Sekunden).
Ergebnis: [1] km/h
d) Berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt des Losfahrens.
Ergebnis: [2] m/s²

Eine U-Bahn benötigt für die Fahrt von einer Station zur nächsten Station 56 Sekunden. Der Abstand der Stationen beträgt 748 m.
a) Erstelle eine Zeit-Weg-Funktion $s(t)$ in Form einer Polynomfunktion dritten Grades, welche die Fahrt der U-Bahn möglichst realistisch modelliert. Dabei ist $t$ die Zeit in Sekunden nach dem Losfahren und $s(t)$ der zurückgelegte Weg in Metern.
Ergebnis: $s(t)=$ [5]
b) Berechne gemäß dieser Funktion die Maximalgeschwindigkeit der U-Bahn in der Einheit km/h.
Maximalgeschwindigkeit: [2] km/h
c) Berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt des Losfahrens.
Beschleunigung: [2] m/s²

#984 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Für die ersten Sekunden nach dem Absprung gilt für einen Fallschirmspringer näherungsweise die folgende Formel für den freien Fall, da hier der Luftwiderstand noch keine große Rolle spielt: $$s(t)=\frac{g}{2}\cdot t^2$$ Dabei ist $t$ die Zeit nach dem Absprung (gemessen in Sekunden), $g=9{,}81\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$ ist die Gravitationsbeschleunigung und $s(t)$ ist der zurückgelegte Weg (gemessen in Metern).
a) Bestimme die Geschwindigkeitsfunktion des Fallschirmspringers.
Geschwindigkeitsfunktion: [2]
b) Berechne die Geschwindigkeit, die der Fallschirmspringer nach 4.7 s hat.
Geschwindigkeit: [2] km/h
c) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit, welche er im Zeitintervall $[2.7\,\textrm{s};~ 5.2\,\textrm{s}]$ hat.
Durchschnittsgeschwindigkeit: [2] km/h
d) Wie lange dauert es, bis er 90 m zurückgelegt hat?
Dauer: [2] s

Die Höhe einer Feuerwerksrakete wird näherungsweise durch die Funktion $h(t)=12.4 t^2$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit (in Sekunden) nach dem Start und $h(t)$ die zugehörige Höhe (in Metern) sind. Die Rakete explodiert 3.2 s nach dem Start.
a) Berechne, in welcher Höhe die Rakete explodiert.
Explosionshöhe: [2] m
b) Berechne, welche Geschwindigkeit die Rakete zum Zeitpunkt der Explosion hat.
Explosionsgeschwindigkeit: [2] m/s
c) Berechne die Beschleunigung der Rakete.
Beschleunigung: [2] m/s²
d) Wie lange dauert es, bis eine Höhe von 40 m erreicht wurde?
Dauer: [3] s
e) Nach welcher Zeit wurde eine Geschwindigkeit von 100 km/h erreicht? Achte auf die Einheiten!
Dauer: [3] s

7. Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Es ist die Funktion $f(x)=4.1- 2.8 x^2$ gegeben. Finde jenes achsenparallele Rechteck, das zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse den größten Flächeninhalt besitzt.

Breite: [3]
Höhe: [2]

Eine dreiteilige zylindrische Konservendose besteht aus zwei kreisförmigen Deckeln und einem röhrenförmigen Dosenkörper (der sogenannten Zarge). Für ein neues Produkt soll eine Dose mit einem Inhalt von 400 mL entworfen werden. Das Material für die beiden Deckel kostet 11.14 €/m² und das Material für den Dosenkörper kostet 9.91 €/m². Berechne, bei welcher Kombination von Radius und Höhe die Materialkosten der Dose am geringsten sind. Berechne außerdem diese minimalen Materialkosten.
Radius: [2] cm
Höhe: [2] cm
Kosten: [2]

8. Vermischte Aufgaben

#994 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Nachfolgend ist der Graph der Funktion $f(x)=1+2x^2-\frac{1}{2}\,x^4$ abgebildet.

Kreuze jeweils an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.
Die Funktion $f$ ist im Intervall $[1; 2]$ streng monoton wachsend.
An der Stelle 1 beträgt der Steigungswinkel des Funktionsgraphen ca. 57,3°.
Für beliebige $x$ gilt $f(-x)=f(x)$.
Die beiden Hochpunkte befinden sich exakt an den Stellen $\pm 1{,}5$.
Der Graph der ersten Ableitungsfunktion besitzt genau zwei Nullstellen.
Der horizontale Abstand der beiden Wendepunkte beträgt ca. 1,63.

#1092 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Die Funktion $f(x)=3^x$ ist durchgehend linksgekrümmt.
Die Funktion $f(x)=x^4$ hat an der Stelle 0 einen Wendepunkt.
Die Funktion $f(x)=2^x\cdot x^2$ besitzt genau zwei Wendepunkte.
Die Funktion $f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}$ ist im Intervall $[2,5]$ streng monoton fallend.
Die Funktion $f(x)=x^3-6x^2+12x-3$ besitzt einen Sattelpunkt.
Die Funktion $f(x)=-\frac{5}{16}x^3+\frac{15}{4}x$ besitzt den Hochpunkt $(\, 5 \mid 2 \,)$.

#1322 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Nachfolgend ist ein Funktionsgraph abgebildet, in welchem sechs Punkte markiert wurden.

Ordne jeder der folgenden Aussagen den passenden Punkt zu:
  ▪  $f(x)>0,~~ f'(x)<0,~~ f''(x)<0~~~$
  ▪  $f(x)>0,~~ f'(x)=0,~~ f''(x)<0~~~$
  ▪  $f(x)<0,~~ f'(x)>0,~~ f''(x)>0~~~$
  ▪  $f(x)<0,~~ f'(x)=0,~~ f''(x)>0~~~$
  ▪  $f(x)<0,~~ f'(x)<0,~~ f''(x)<0~~~$
  ▪  $f(x)>0,~~ f'(x)>0,~~ f''(x)<0~~~$