Berechne die Ergebnisse jeweils in Form einer Wurzel und vereinfache so weit wie möglich. a) $\sqrt[10]{x^{3}}\cdot \sqrt{x^{15}}$ b) $\frac{\sqrt[6]{x^{5}}}{\sqrt[9]{x^{4}}}$

Vereinfache folgenden Term so weit wie möglich. Das Ergebnis soll in Wurzelform dargestellt werden und es soll nur eine Wurzel vorkommen. $\sqrt[6]{x^5y^4\cdot \sqrt[3]{x^2y^3\,}\,}$

Schreibe so viele Faktoren wie möglich vor die Wurzel. $\sqrt[3]{4352\,a^{18} b^{-17} c^{14}\,}$

Bringe alle Faktoren unter die Wurzel und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich. Das Ergebnis soll keine negativen Exponenten enthalten. $3\,s^{-3} t^{3}\cdot \sqrt[6]{17\,s^{19} t^{-14}\,}$

Kreuze alle Terme an, welche äquivalent zum Term $x^{\frac{4}{3}}$ sind. äquivalent nicht äquivalent $\sqrt[3]{x^4}$ äquivalent nicht äquivalent $\sqrt[4]{x^3}$ äquivalent nicht äquivalent $x^{-\frac{3}{4}}$ äquivalent nicht äquivalent $x\cdot \sqrt[3]{x}$ äquivalent nicht äquivalent $\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$ äquivalent nicht äquivalent $\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}}$

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. wahr falsch $\sqrt[n\,]{x\cdot \sqrt[m]{x\,}}=x^\frac{m+1}{n\cdot m}$ wahr falsch $x^3\cdot \sqrt[4]{x^2\,}=\sqrt[4]{x^5}$ wahr falsch $(\sqrt{x}-\sqrt{y})\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{y})=x-y$ wahr falsch $x^{-\frac{2}{5}}=\sqrt[5\,]{\frac{1}{x^2}}$ wahr falsch $\sqrt[3]{a^3-b^3}=a-b$ wahr falsch $x^2\cdot \sqrt[3]{x^2\,}=\sqrt[3]{x^8}$ wahr falsch $x^{-\frac{3}{4}}=\sqrt[3\,]{\frac{1}{x^4}}$ wahr falsch $\sqrt[m\,]{x\cdot \sqrt[n]{x\,}}=x^\frac{m+1}{n\cdot m}$

Löse die folgende Wurzelgleichung und gib einen vollständigen Lösungsweg an! $$3 \cdot \sqrt[3]{4 x+13\,}-4=23$$

Es ist die folgende Wurzelgleichung gegeben: $$ 12 \cdot \sqrt{ 5x+ 21 } = 11 \cdot \sqrt{ 16- 6x } $$ a) Bestimme die Definitionsmenge und gib diese als Intervall an. b) Ermittle durch handschriftliche Umformung, welche reelle Zahl als Lösung dieser Gleichung in Frage kommt. c) Überprüfe die Lösung anhand der Definitionsmenge und der Probe. Schreibe anschließend eine passende Schlussfolgerung.

Es ist die folgende Wurzelgleichung gegeben: $$ 9 \cdot \sqrt{x-26} + \sqrt{x+16} = 28 $$ a) Bestimme die Definitionsmenge und gib diese als Intervall an. b) Ermittle durch handschriftliche Umformung alle reellen Zahlen, die als Lösung dieser Gleichung in Frage kommen. Für diese Aufgabe ist das Lösen einer quadratischen Gleichung erforderlich. c) Überprüfe die Lösungskandidaten anhand der Definitionsmenge und der Probe. Schreibe anschließend eine passende Schlussfolgerung.

Schreibe jeweils eine nachvollziehbare Erklärung. a) Wie kann man ohne Berechnung erkennen, dass die Gleichung $\sqrt{14 -x}=\sqrt{x-24}$ in der Menge der reellen Zahlen keine Lösung besitzt? b) Warum entspricht die Definitionsmenge der Gleichung $6 \cdot \sqrt[3]{x-16}=23$ der gesamten Menge der reellen Zahlen?

Es ist die folgende Wurzelgleichung gegeben: $$ \sqrt{ 6 + 9 \cdot \sqrt{ 6 x - 5\, } } = 2$$ a) Bestimme die Definitionsmenge und gib diese als Intervall an. b) Ermittle durch handschriftliche Umformung, welche reelle Zahl als Lösung dieser Gleichung in Frage kommt. c) Überprüfe die Lösung anhand der Definitionsmenge und der Probe. Schreibe anschließend eine passende Schlussfolgerung.

Für ein physikalisches Experiment sollen drei massive Stahlkugeln hergestellt werden. Die mittlere Kugel soll die doppelte Masse (und somit auch das doppelte Volumen) der kleinen Kugel haben. Die große Kugel soll die dreifache Masse (und somit auch das dreifache Volumen) der kleinen Kugel haben. Der Radius der kleinen Kugel ist mit 2.2 cm vorgegeben. a) Welchen Radius haben die beiden anderen Kugeln? b) Welche Masse hat die kleine Kugel, wenn der verwendete Stahl die Dichte 7,86 g/cm³ hat?

Eine Kugel hat den Radius 17.1 cm. Welchen Radius muss eine andere Kugel haben, deren Volumen um 29 % kleiner ist?

In einem Restaurant hat eine kleine Pizza einen Durchmesser von 22.6 cm. Der Flächeninhalt der großen Pizza soll um zwei Drittel größer sein als jener der kleinen Pizza. Welchen Durchmesser muss die große Pizza dafür haben?

Beim sogenannten „Delischen Problem“, welches seinen Ursprung in einer griechischen Legende hat, geht es darum, zu einem gegebenen Würfel mit bekannter Seitenlänge jenen Würfel zu finden, der das doppelte Volumen besitzt. a) Gegeben ist ein Würfel mit der Seitenlänge 71 cm. Welche Seitenlänge muss ein Würfel besitzen, der das doppelte Volumen des gegebenen Würfels hat? b) Um welchen Faktor ändert sich die Seitenlänge des Würfels allgemein? Es ist hier der exakte Wert gesucht, keine gerundete Dezimalzahl.

Gegeben ist ein Würfel mit einer Seitenlänge von 4.1 cm. Welchen Radius muss eine Kugel haben, deren Volumen genau doppelt so groß ist, wie das Volumen des Würfels?

Gegeben ist ein Quadrat mit Seitenlänge 5.2 cm. Berechne den Radius eines Kreises, der den doppelten Flächeninhalt des Quadrates hat.

Für ein physikalisches Experiment sollen zwei massive Aluminiumkugeln (Dichte: ca. 2,7 g/cm³) hergestellt werden. Beide Kugeln zusammen sollen 3.2 kg schwer sein. Eine Kugel soll doppelt so schwer sein, wie die andere Kugel. Bestimme den Radius, den die beiden Kugeln haben müssen!

In einer Packung tiefgekühlter Knödel befinden sich vier Stück mit einem Durchmesser von 75 mm. Der Hersteller möchte stattdessen in Zukunft sechs Stück pro Packung verkaufen, wobei die Gesamtmasse (und somit auch das Gesamtvolumen) gleich bleiben soll. Welchen Durchmesser müssen die neuen Knödel haben?

Im Zehnkampf werden die Punkte beim Hochspringen durch die Formel $0{,}8465 \cdot(x - 75)^{1{,}42}$ berechnet. Dabei ist $x$ die übersprungene Höhe in ganzen Zentimetern. Das Ergebnis wird immer auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet. a) Wie viele Punkte erhält man für 193 Zentimeter? b) Wie hoch muss man mindestens springen, um mehr als 500 Punkte zu erhalten?

Unter Berücksichtigung von Zinseszinsen wird das Endkapital $K_n$ durch die Formel $K_n=K_0\cdot (1+i)^n$ berechnet. Dabei ist $K_0$ das Anfangskapital, $i$ der durchschnittliche Jahrezinssatz und $n$ die Anzahl an Jahren. Frau Hoffmann hat 6000 € angelegt. Nach 7 Jahren ist das Kapital um 531 € angewachsen. Berechne den durchschnittlichen Jahreszinssatz.

Die Erdanziehungskraft $F$ auf ein Objekt mit Masse $m$, welches den Abstand $R$ zum Erdmittelpunkt hat, kann durch die Formel $$F=\frac{G\cdot M\cdot m}{R^2}$$ berechnet werden, wobei $G$ die Gravitationskonstante und $M$ die Masse der Erde ist (beide Größen werden für das Lösen der folgenden Aufgabe nicht benötigt). Der Erdradius beträgt ca. 6371 km. Berechne, in welcher Höhe über der Erdoberfläche die Erdanziehungskraft nur noch halb so groß ist, wie auf der Erdoberfläche.

Ein Kapital soll insgesamt drei Jahre lang angelegt werden. Im ersten Jahr beträgt der Zinssatz $z_1=1.51\,\%$. Im zweiten Jahr beträgt er $z_2=3.53\,\%$. Wie groß muss er im dritten Jahr sein, damit der Durchschnittszinssatz $\bar z=3\,\%$ beträgt. Die Formel für den Durchschnittszinssatz lautet: $$ (1+\bar z)=\sqrt[3]{(1+z_1)\cdot (1+z_2)\cdot (1+z_3)} $$

Das 3. Keplersche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen den Umlaufzeiten $T_1$ und $T_2$ zweier Planeten um die Sonne und den großen Halbachsen $a_1$ und $a_2$ ihrer elliptischen Umlaufbahnen. Dieser Zusammenhang lautet folgendermaßen: $$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3$$ a) Erstelle eine Formel zur Berechnung von $a_2$. Das Ergebnis soll keinen Doppelbruch enthalten und möglichst weit vereinfacht sein. b) Die große Halbachse der Erdumlaufbahn beträgt 150 Mio. km. Die große Halbachse der Umlaufbahn des Saturns beträgt 1434 Mio. km. Berechne die Umlaufdauer des Saturns um die Sonne in Jahren. Die Umlaufdauer der Erde beträgt ein Jahr. Achte auf einen möglichst effizienten Lösungsweg!