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Aufgaben zur Wurzelrechnung

Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Wurzelrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

1. Rechnen mit Wurzeln

Berechne die Ergebnisse jeweils in Form einer Wurzel und vereinfache so weit wie möglich.
a) $\sqrt[6]{x^{3}}\cdot \sqrt{x^{11}}$
b) $\frac{\sqrt[12]{x^{9}}}{\sqrt[5]{x^{6}}}$

Vereinfache folgenden Term so weit wie möglich und gib einen vollständigen Rechenweg an. Das Ergebnis soll in Wurzelform dargestellt werden und es soll nur eine Wurzel vorkommen.
$\sqrt[6]{x^3y^4\cdot \sqrt[3]{x^6y^5\,}\,}$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

Schreibe so viele Faktoren wie möglich vor die Wurzel und gib alle Zwischenschritte und Nebenrechnungen an.
$\sqrt[6]{5832\,a^{9} b^{-15} c^{9}\,}$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

Bringe alle Faktoren unter die Wurzel und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich. Das Ergebnis soll keine negativen Exponenten enthalten. Gib alle Zwischenschritte und Nebenrechnungen an!
$5\,s^{-7} t^{4}\cdot \sqrt[6]{19\,s^{11} t^{-14}\,}$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

#204 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Kreuze alle Terme an, welche äquivalent zum Term $x^{\frac{4}{3}}$ sind.
$\sqrt[3]{x^4}$
$\sqrt[4]{x^3}$
$x^{-\frac{3}{4}}$
$x\cdot \sqrt[3]{x}$
$\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$
$\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}}$

#1082 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
$\sqrt[n\,]{x\cdot \sqrt[m]{x\,}}=x^\frac{m+1}{n\cdot m}$
$x^3\cdot \sqrt[4]{x^2\,}=\sqrt[4]{x^5}$
$(\sqrt{x}-\sqrt{y})\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{y})=x-y$
$x^{-\frac{2}{5}}=\sqrt[5\,]{\frac{1}{x^2}}$
$\sqrt[3]{a^3-b^3}=a-b$
$x^2\cdot \sqrt[3]{x^2\,}=\sqrt[3]{x^8}$
$x^{-\frac{3}{4}}=\sqrt[3\,]{\frac{1}{x^4}}$
$\sqrt[m\,]{x\cdot \sqrt[n]{x\,}}=x^\frac{m+1}{n\cdot m}$

2. Wurzelgleichungen

Löse die folgende Wurzelgleichung und gib einen vollständigen Lösungsweg an! $$3 \cdot \sqrt[3]{2 x+19\,}-6=27$$ Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

Es ist die folgende Wurzelgleichung gegeben: $$ 2 \cdot \sqrt{ 9x+ 23 } = 5 \cdot \sqrt{ 15- 8x } $$
a) Bestimme die Definitionsmenge und gib diese als Intervall an.
Definitionsmenge: $D=$ [2]
b) Ermittle durch handschriftliche Umformung, welche reelle Zahl als Lösung dieser Gleichung in Frage kommt.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
c) Überprüfe die Lösung anhand der Definitionsmenge und der Probe. Schreibe anschließend eine passende Schlussfolgerung.
Schlussfolgerung:

Es ist die folgende Wurzelgleichung gegeben: $$ 9 \cdot \sqrt{x-25} + \sqrt{x+17} = 30 $$
a) Bestimme die Definitionsmenge und gib diese als Intervall an.
Definitionsmenge: $D=$ [0]
b) Ermittle durch handschriftliche Umformung alle reellen Zahlen, die als Lösung dieser Gleichung in Frage kommen. Für diese Aufgabe ist das Lösen einer quadratischen Gleichung erforderlich.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
c) Überprüfe die Lösungskandidaten anhand der Definitionsmenge und der Probe. Schreibe anschließend eine passende Schlussfolgerung.
Schlussfolgerung:

#1402 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Schreibe jeweils eine nachvollziehbare Erklärung.
a) Wie kann man ohne Berechnung erkennen, dass die Gleichung $\sqrt{10 -x}=\sqrt{x-27}$ in der Menge der reellen Zahlen keine Lösung besitzt?

0/1000 Zeichen
b) Warum entspricht die Definitionsmenge der Gleichung $5 \cdot \sqrt[3]{x-19}=27$ der gesamten Menge der reellen Zahlen?

0/1000 Zeichen

Es ist die folgende Wurzelgleichung gegeben: $$ \sqrt{ 4 + 3 \cdot \sqrt{ 4 x - 1\, } } = 2$$
a) Bestimme die Definitionsmenge und gib diese als Intervall an.
Definitionsmenge: $D=$ [2]
b) Ermittle durch handschriftliche Umformung, welche reelle Zahl als Lösung dieser Gleichung in Frage kommt.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
c) Überprüfe die Lösung anhand der Definitionsmenge und der Probe. Schreibe anschließend eine passende Schlussfolgerung.
Schlussfolgerung:

3. Geometrische Aufgaben

Für ein physikalisches Experiment sollen drei massive Stahlkugeln hergestellt werden. Die mittlere Kugel soll die doppelte Masse (und somit auch das doppelte Volumen) der kleinen Kugel haben. Die große Kugel soll die dreifache Masse (und somit auch das dreifache Volumen) der kleinen Kugel haben. Der Radius der kleinen Kugel ist mit 2.3 cm vorgegeben.
a) Welchen Radius haben die beiden anderen Kugeln?
Radius der mittleren Kugel: [2] cm
Radius der großen Kugel: [2] cm
b) Welche Masse hat die kleine Kugel, wenn der verwendete Stahl die Dichte 7,86 g/cm³ hat?
Masse der kleinen Kugel: [1] g

Eine Kugel hat den Radius 21.6 cm. Welchen Radius muss eine andere Kugel haben, deren Volumen um 29 % kleiner ist?
Radius: [2] cm

In einem Restaurant hat eine kleine Pizza einen Durchmesser von 22.2 cm. Der Flächeninhalt der großen Pizza soll um zwei Drittel größer sein als jener der kleinen Pizza. Welchen Durchmesser muss die große Pizza dafür haben?
Durchmesser der großen Pizza: [2] cm

#475 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Beim sogenannten „Delischen Problem“, welches seinen Ursprung in einer griechischen Legende hat, geht es darum, zu einem gegebenen Würfel mit bekannter Seitenlänge jenen Würfel zu finden, der das doppelte Volumen besitzt.
a) Gegeben ist ein Würfel mit der Seitenlänge 75 cm. Welche Seitenlänge muss ein Würfel besitzen, der das doppelte Volumen des gegebenen Würfels hat?
Seitenlänge: [2] cm
b) Um welchen Faktor ändert sich die Seitenlänge des Würfels allgemein? Es ist hier der exakte Wert gesucht, keine gerundete Dezimalzahl. Gib einen vollständigen Lösungsweg an!
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

Gegeben ist ein Würfel mit einer Seitenlänge von 5.9 cm. Welchen Radius muss eine Kugel haben, deren Volumen genau doppelt so groß ist, wie das Volumen des Würfels?
Radius der Kugel: [2] cm

Gegeben ist ein Quadrat mit Seitenlänge 5.2 cm. Berechne den Radius eines Kreises, der den doppelten Flächeninhalt des Quadrates hat.
Radius: [2] cm

Für ein physikalisches Experiment sollen zwei massive Aluminiumkugeln (Dichte: ca. 2,7 g/cm³) hergestellt werden. Beide Kugeln zusammen sollen 4.3 kg schwer sein. Eine Kugel soll doppelt so schwer sein, wie die andere Kugel. Bestimme den Radius, den die beiden Kugeln haben müssen!
Radius der kleinen Kugel: [2] cm
Radius der großen Kugel: [2] cm

In einer Packung tiefgekühlter Knödel befinden sich vier Stück mit einem Durchmesser von 73 mm. Der Hersteller möchte stattdessen in Zukunft sechs Stück pro Packung verkaufen, wobei die Gesamtmasse (und somit auch das Gesamtvolumen) gleich bleiben soll. Welchen Durchmesser müssen die neuen Knödel haben?
Neuer Durchmesser: [1] mm

4. Vermischte Aufgaben

Im Zehnkampf werden die Punkte beim Hochspringen durch die Formel $0{,}8465 \cdot(x - 75)^{1{,}42}$ berechnet. Dabei ist $x$ die übersprungene Höhe in ganzen Zentimetern. Das Ergebnis wird immer auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet.
a) Wie viele Punkte erhält man für 198 Zentimeter?
Punkte: [0]
b) Wie hoch muss man mindestens springen, um mehr als 850 Punkte zu erhalten?
Mindesthöhe: [0] cm

Unter Berücksichtigung von Zinseszinsen wird das Endkapital $K_n$ durch die Formel $K_n=K_0\cdot (1+i)^n$ berechnet. Dabei ist $K_0$ das Anfangskapital, $i$ der durchschnittliche Jahrezinssatz und $n$ die Anzahl an Jahren. Frau Klein hat 4500 € angelegt. Nach 7 Jahren ist das Kapital um 557 € angewachsen. Berechne den durchschnittlichen Jahreszinssatz.
Durchschnittlicher Jahreszinssatz: [3] %

#579 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Erdanziehungskraft $F$ auf ein Objekt mit Masse $m$, welches den Abstand $R$ zum Erdmittelpunkt hat, kann durch die Formel $$F=\frac{G\cdot M\cdot m}{R^2}$$ berechnet werden, wobei $G$ die Gravitationskonstante und $M$ die Masse der Erde ist (beide Größen werden für das Lösen der folgenden Aufgabe nicht benötigt). Der Erdradius beträgt ca. 6371 km. Berechne, in welcher Höhe über der Erdoberfläche die Erdanziehungskraft nur noch halb so groß ist, wie auf der Erdoberfläche. Gib einen vollständigen Lösungsweg an.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

Ein Kapital soll insgesamt drei Jahre lang angelegt werden. Im ersten Jahr beträgt der Zinssatz $z_1=1.72\,\%$. Im zweiten Jahr beträgt er $z_2=3.45\,\%$. Wie groß muss er im dritten Jahr sein, damit der Durchschnittszinssatz $\bar z=3\,\%$ beträgt. Die Formel für den Durchschnittszinssatz lautet: $$ (1+\bar z)=\sqrt[3]{(1+z_1)\cdot (1+z_2)\cdot (1+z_3)} $$
Zinssatz im dritten Jahr: [3] %

#945 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Das 3. Keplersche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen den Umlaufzeiten $T_1$ und $T_2$ zweier Planeten um die Sonne und den großen Halbachsen $a_1$ und $a_2$ ihrer elliptischen Umlaufbahnen. Dieser Zusammenhang lautet folgendermaßen: $$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3$$
a) Erstelle eine Formel zur Berechnung von $a_2$. Das Ergebnis soll keinen Doppelbruch enthalten und möglichst weit vereinfacht sein.
Formel (inkl. Lösungsweg):
b) Die große Halbachse der Erdumlaufbahn beträgt 150 Mio. km. Die große Halbachse der Umlaufbahn des Saturns beträgt 1434 Mio. km. Berechne die Umlaufdauer des Saturns um die Sonne in Jahren. Die Umlaufdauer der Erde beträgt ein Jahr. Achte auf einen möglichst effizienten Lösungsweg!
Umlaufdauer des Saturns (inkl. Lösungsweg):