Es ist die folgende Reihe gegeben: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{16}{n^2+2 n-222}$$ a) Berechne, ab welcher natürlichen Zahl $n$ die Ungleichung $n^2+2 n-222\geq n^2$ erfüllt ist. b) Überprüfe mittels Minoranten- und Majorantenkriterium das Konvergenzverhalten der vorgegebenen Reihe. Erkläre deine Überlegungen dabei möglichst ausführlich und mathematisch korrekt.

Überprüfe mit beliebigen Verfahren das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen. Erkläre deine Schlussfolgerungen! a) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-4}{n+7}$ b) $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{3n-12}{19+8n} \right)^n$ c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7^n}{n!}$

Taschenrechner und Computer berechnen den Kosinus eines Winkels $x$ (in Radiant) näherungsweise mit Hilfe folgender Potenzreihe: $$\cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\cdot \frac{x^{2k}}{(2k)!}$$ a) Berechne selbst eine Näherung für $\cos(1.38)$ indem du die ersten vier Summanden der obigen Summe addierst. Runde auf sechs Nachkommastellen. b) Berechne die relative Abweichung des Näherungswerts vom tatsächlichen Wert. Gib das Ergebnis in Prozent an. Runde auf vier Nachkommastellen.

Es ist die folgende Potenzreihe gegeben: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{5^n}$$ a) Berechne den Konvergenzradius dieser Potenzreihe. b) Untersuche das Konvergenzverhalten an den Randstellen des Konvergenzbereichs.

Es ist die folgende Potenzreihe gegeben: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{3n}$$ a) Berechne den Konvergenzradius dieser Potenzreihe. b) Untersuche das Konvergenzverhalten an den Randstellen des Konvergenzbereichs.

Nachfolgend ist im Intervall $[-1,1]$ der Graph einer Funktion abgebildet. Dieser Graph soll sich periodisch wiederholen und durch eine Fourier-Reihe angenähert werden.

a) Erstelle mit Hilfe einer Fallunterscheidung eine Funktionsgleichung, welche den abgebildeten Graphen im Intervall $[-1,1]$ beschreibt. b) Bestimme die Koeffizienten $a_0, ..., a_5$ der zugehörigen Fourier-Reihe. c) Stelle die Fourier-Reihe $F_5$ grafisch dar. d) Erkläre, warum die Koeffizienten $b_n$ allesamt den Wert 0 haben.

Berechne die folgenden Summen: a) $\sum_{k=14}^{62} 4k$ b) $\sum_{k=0}^{19} 1.24^k$ c) $\sum_{k=0}^{\infty} 0.7^k$

Es gilt der folgende Zusammenhang: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$ a) Berechne ohne Computer einen Näherungswert der Zahl $\pi$, indem du die ersten 12 Summanden addierst und die Gleichung passend umformst. b) Berechne die relative Abweichung des Näherungswerts vom tatsächlichen Wert. Gib das Ergebnis in Prozent an.

Nachfolgend ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ abgebildet. Das Muster im Inneren des Quadrates wird unendlich fortgesetzt.

a) Erstelle eine Formel, mit der die Summe der Flächeninhalte aller grauen Flächen berechnet werden kann. Die Formel soll außer $a$ keine weiteren Variablen enthalten. b) Berechne die Summe der Flächeninhalte aller grauen Flächen für $a=25$ mm. Das Ergebnis soll die Einheit cm² haben. c) Wie viel Prozent des gesamten Quadrats sind grau?