Aufgaben zu Reihen (allgemein)

Auf dieser Seite befinden sich Aufgaben zu Reihen (allgemein). Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben dieser Internetseite werden in jeder Session – also nach jedem Neustart des Webbrowsers oder nach jedem neuen Login – neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich einzelne Zahlenwerte verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf exakt dieselbe Aufgabe zugreifen, so sollte daher ein Screenshot angefertigt werden.

Inhaltsverzeichnis

1. Konvergenz von Reihen

#1255 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Es ist die folgende Reihe gegeben: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{22}{n^2+6 n-289}$$
a) Berechne, ab welcher natürlichen Zahl $n$ die Ungleichung $n^2+6 n-289\geq n^2$ erfüllt ist.
b) Überprüfe mittels Minoranten- und Majorantenkriterium das Konvergenzverhalten der vorgegebenen Reihe. Erkläre deine Überlegungen dabei möglichst ausführlich und mathematisch korrekt.

#1256 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Überprüfe mit beliebigen Verfahren das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen. Erkläre deine Schlussfolgerungen!
a) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-8}{n+5}$
b) $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{3n-16}{17+6n} \right)^n$
c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!}$
2. Potenzreihen

#510 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Taschenrechner und Computer berechnen den Kosinus eines Winkels $x$ (in Radiant) näherungsweise mit Hilfe folgender Potenzreihe: $$\cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\cdot \frac{x^{2k}}{(2k)!}$$
a) Berechne selbst eine Näherung für $\cos(1.45)$ indem du die ersten vier Summanden der obigen Summe addierst. Runde auf sechs Nachkommastellen.
b) Berechne die relative Abweichung des Näherungswerts vom tatsächlichen Wert. Gib das Ergebnis in Prozent an. Runde auf vier Nachkommastellen.

#1266 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Es ist die Exponentialfunktion $f(x)=2.6\cdot 1.7^x$ gegeben. Diese soll an der Entwicklungsstelle $x_0=0$ durch das Taylor-Polynom 4. Grades angenähert werden.
a) Ermittle dieses Taylor-Polynom $T_4$.
b) Berechne jenes Intervall, in dem das Taylor-Polynom um maximal 1 % von der gegebenen Funktion abweicht.

#1267 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Gegeben ist die Funktion $f(x)=3.9 \cdot \sqrt{x}+1.2$.
a) Erstelle mit Hilfe eines geeigneten Computerprogramms das Taylor-Polynom $T_{5}$ für die Entwicklungsstelle $x_0 = 5.2$.
b) Stelle die gegebene Funktion und das Taylor-Polynom in einem gemeinsamen Koordinatensystem grafisch dar und achte darauf, dass man erkennen kann, für welchen Bereich die Näherung „gut“ ist.

#1269 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Es ist die folgende Potenzreihe gegeben: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{8^n}$$
a) Berechne den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.
b) Untersuche das Konvergenzverhalten an den Randstellen des Konvergenzbereichs.

#1270 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Es ist die folgende Potenzreihe gegeben: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{9n}$$
a) Berechne den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.
b) Untersuche das Konvergenzverhalten an den Randstellen des Konvergenzbereichs.
3. Fourierreihen

#1268 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Nachfolgend ist im Intervall $[-1,1]$ der Graph einer Funktion abgebildet. Dieser Graph soll sich periodisch wiederholen und durch eine Fourier-Reihe angenähert werden.

a) Erstelle mit Hilfe einer Fallunterscheidung eine Funktionsgleichung, welche den abgebildeten Graphen im Intervall $[-1,1]$ beschreibt.
b) Bestimme die Koeffizienten $a_0, ..., a_5$ der zugehörigen Fourier-Reihe.
c) Stelle die Fourier-Reihe $F_5$ grafisch dar.
d) Erkläre, warum die Koeffizienten $b_n$ allesamt den Wert 0 haben.
4. Vermischte Aufgaben

#24 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Berechne die folgenden Summen:
a) $\sum_{k=19}^{52} 5k$
b) $\sum_{k=0}^{16} 1.02^k$
c) $\sum_{k=0}^{\infty} 0.62^k$

#509 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Es gilt der folgende Zusammenhang: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
a) Berechne ohne Computer einen Näherungswert der Zahl $\pi$, indem du die ersten 14 Summanden addierst und die Gleichung passend umformst.
b) Berechne die relative Abweichung des Näherungswerts vom tatsächlichen Wert. Gib das Ergebnis in Prozent an.

#1354 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Nachfolgend ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ abgebildet. Das Muster im Inneren des Quadrates wird unendlich fortgesetzt.

a) Erstelle eine Formel, mit der die Summe der Flächeninhalte aller grauen Flächen berechnet werden kann. Die Formel soll außer $a$ keine weiteren Variablen enthalten.
b) Berechne die Summe der Flächeninhalte aller grauen Flächen für $a=27$ mm. Das Ergebnis soll die Einheit cm² haben.
c) Wie viel Prozent des gesamten Quadrats sind grau?
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