Logarithmen zerlegen | Exponentialgleichungen

Mit Hilfe der Rechenregeln für Logarithmen können Logarithmen der gleichen Basis zusammengefasst werden.

Der folgende Term soll zu einem einzigen Logarithmus zusammengefasst und möglichst weit vereinfacht werden. $$\frac{3}{2}\cdot \lg(x) - \frac{1}{2}\cdot \lg(x+y)$$ Die Faktoren vor den Logarithmen werden innerhalb der Logarithmen zu Exponenten: $$\lg\left(x^{\frac{3}{2}}\right) - \lg\left((x+y)^{\frac{1}{2}}\right)$$ Das Minus zwischen den Logarithmen wird innerhalb des Logarithmus zu einer Division (also einem Bruchstrich): $$\lg\left( \frac{ x^{\frac{3}{2}} }{ (x+y)^{\frac{1}{2}} } \right)$$ Zuletzt werden die Brüche im Exponent in Wurzeln umgewandelt und zu einer einzigen Wurzel zusammengefasst: $$\lg\left( \frac{ \sqrt{x^3} }{ \sqrt{x+y} } \right) = \lg\left( \sqrt{\frac{ x^3 }{ x+y} } \right)$$

Der folgende Term soll zu einem einzigen Logarithmus zusammengefasst und möglichst weit vereinfacht werden. $$2+\log_3(a) - 2\cdot \log_3(b)$$ Die Zahl 2 entspricht dem Ergebnis eines Logarithmus mit Basis 3. Um sie wieder in einen Logarithmus zu verwandeln, muss die entsprechende Basis mit dieser Zahl potenziert werden. Man erhält daher $2= \log_3\left( 3^2 \right) = \log_3(9)$. Insgesamt erhält man somit folgenden Term: $$\log_3 \left( \frac{9a}{b^2} \right)$$

Löse Aufgabe 5 des folgenden Arbeitsblattes und vergleiche mit den Lösungen auf der letzten Seite: Arbeitsblatt: Logarithmus

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