Allgemeine Eigenschaften | Logarithmen zerlegen

Steht im Logarithmus eine Summe oder eine Differenz, so kann man den Logarithmus nicht zerlegen. Die Terme $\log(x + y)$ und $\log(x − y)$ sind beispielsweise nicht zerlegbar. Steht im Logarithmus ein Produkt, so kann man den Logarithmus folgendermaßen zerlegen: $$\log(x\cdot y)=\log(x)+\log(y)$$ Man kann sich dies anhand des folgenden Zahlenbeispiels vorstellen: $$\lg(100\cdot 1000) = \lg(100) + \lg(1000)$$ $$\lg(10^2\cdot 10^3) = \lg(10^2) + \lg(10^3)$$ $$\lg(10^5) = \lg(10^2) + \lg(10^3)$$ $$5 = 2+3$$ $$5 = 5$$ Steht im Logarithmus ein Quotient, so kann man den Logarithmus folgendermaßen zerlegen: $$\log\left(\frac{x}{y}\right)=\log(x)-\log(y)$$ Auch hier hilft ein Zahlenbeispiel bei der Vorstellung: $$\lg\left(\frac{10000}{100}\right) = \lg(10000) - \lg(100)$$ $$\lg\left(\frac{10^4}{10^2}\right) = \lg(10^4) - \lg(10^2)$$ $$\lg(10^2) = \lg(10^4) - \lg(10^2)$$ $$2 = 4-2$$ $$2 = 2$$ Steht im Logarithmus eine Potenz, so kann man den Logarithmus folgendermaßen zerlegen: $$\log(x^n)=n\cdot \log(x)$$ Diese Regel lässt sich anhand der Rechenregel für Produkte folgendermaßen herleiten: $$ \log(x^n)=\log(\underbrace{x\cdots x}_{n\mathrm{-mal}}) = \underbrace{ \log(x) + ... + \log(x)}_{n\mathrm{-mal}} = n\cdot \log(x) $$ Steht im Logarithmus ein Kehrwert, so kann man diesen Logarithmus folgendermaßen vereinfachen: $$\log\left(\frac{1}{x}\right)=-\log(x)$$ Diese Eigenschaft beruht auf der Rechenregel für Quotienten und der Tatsache, dass $\log(1)$ unabhängig von der Basis immer 0 ergibt: $$\log\left(\frac{1}{x}\right)=\log(1)-\log(x)=0-\log(x)=-\log(x)$$

Lerne diese Rechenregeln auswendig. Sie werden in den kommenden Kapiteln eine große Rolle spielen.

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