Rechenregeln für Logarithmen | Logarithmen zusammenfassen

Ein häufiges Aufgabenformat ist das Zerlegen von Logarithmen in eine sogenannte Darstellung mit einfachsten Numeri. Das bedeutet, dass die Terme, die in den Logarithmen stehen, durch keine Rechenregel weiter zerlegt werden können.

Der folgende Term soll durch einfachste Numeri dargestellt werden.$$\ln\left(\frac{3x}{yz^2}\right)$$ Im ersten Schritt kann der Quotient innerhalb des Logarithmus durch eine Differenz zweier Logarithmen dargestellt werden: $$\ln(3x) − \ln(yz^2)$$ Als Nächstes können die Produkte innerhalb der Logarithmen jeweils durch eine Summe zweier Logarithmen dargestellt werden. Dabei ist die Klammer bei der zweiten Summe zu beachten: $$\ln(3) + \ln(x) − (\ln(y) + \ln (z^2)) = \ln(3) + \ln(x) − \ln(y) − \ln (z^2)$$ Zuletzt wird bei der Potenz im letzten Logarithmus die Hochzahl vor den Logarithmus geschrieben. Das Endergebnis lautet somit folgendermaßen: $$\ln(3) + \ln(x) − \ln(y) − 2 \cdot \ln(z)$$

Der folgende Term soll durch einfachste Numeri dargestellt werden.$$\lg\left(\frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}\right)$$ Im ersten Schritt sollte man erkennen, dass im Nenner eine binomische Formel angewendet werden kann, was zu folgendem Term führt, welcher anschließend gekürzt werden kann: $$\lg\left(\frac{(x-y)^2}{(x+y)\cdot (x-y)}\right) = \lg\left(\frac{x-y}{x+y}\right)$$ Abschließend wird der Logarithmus des Quotienten in eine Differenz zweier Logarithmen zerlegt: $$\lg(x-y)-\lg(x+y)$$ Da Logarithmen von Summen und Differenzen nicht zerlegt werden können, handelt es sich dabei um eine Darstellung durch einfachste Numeri.

Im nachfolgenden Video werden vier weitere Beispiele vorgerechnet und erklärt:

Löse Aufgabe 4 des folgenden Arbeitsblattes und vergleiche mit den Lösungen auf der letzten Seite: Arbeitsblatt: Logarithmus

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