Exponentialgleichungen

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei welcher die gesuchte Variable im Exponenten einer Potenz steht. Je nach Gleichungsstruktur müssen unterschiedliche Lösungsverfahren angewendet werden, von denen die wichtigsten in dieser Lektion erklärt werden. Kommt die gesuchte Variable nur einmal vor, so wird die Gleichung zunächst so umgeformt, dass die Potenz alleine auf einer Seite steht. Anschließend wird der Logarithmus verwendet.

Beispiel 1

Es soll die Gleichung $3\cdot 2^{5x-1}+7=40$ gelöst werden. Dazu formt man als erstes so um, dass die Potenz alleine steht. Man erhält $2^{5x-1}=11$. Anschließend wird auf beiden Seiten ein beliebiger Logarithmus (z. B. der natürliche Logarithmus $\ln$) verwendet. Es ergibt sich $(5x-1)\cdot \ln(2)=\ln(11)$. Zuletzt wird die Gleichung so umgeformt, dass die gesuchte Variable $x$ alleine steht: $$x=\frac{\frac{\ln(11)}{\ln(2)}+1}{5}\approx 0{,} 89189$$

Im nachfolgenden Video werden drei weitere Beispiele vorgerechnet und erklärt:

Aufgabe 1

Löse von Aufgabe 6 des folgenden Arbeitsblattes die Gleichungen a, b, e, g, h, l und vergleiche mit den Lösungen auf der letzten Seite: Arbeitsblatt: Logarithmus

Häufig kommt die gesuchte Variable mehr als einmal vor. Sofern sich die Gleichung in eine Form bringen lässt, in welcher keine Summen und Differenzen zwischen den Potenzen vorkommen, kann die Lösung ebenfalls durch beidseitiges Logarithmieren berechnet werden.

Beispiel 2

Es soll die Gleichung $5^{3+x} = 3^{2x−1}$ gelöst werden. Verwendet man auf beiden Seiten einen beliebigen Logarithmus (z. B. den $\lg$), so erhält man $(3+x)\cdot \lg(5) = (2x-1)\cdot \lg(3)$. Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert, sodass man $3\cdot \lg(5)+x\cdot \lg(5) = 2x\cdot \lg(3)- \lg(3)$ erhält. Nun werden alle Terme mit $x$ auf eine Seite gebracht, damit die Variable $x$ herausgehoben werden kann. Man erhält: $$x\cdot \lg(5) - 2x\cdot \lg(3)= - \lg(3)- 3\cdot \lg(5)$$ $$x\cdot (\lg(5) - 2\cdot \lg(3))= - \lg(3)- 3\cdot \lg(5)$$ $$x=\frac{- \lg(3)- 3\cdot \lg(5)}{\lg(5) - 2\cdot \lg(3)}\approx 10{,}08346$$

Aufgabe 2

Löse von Aufgabe 6 des folgenden Arbeitsblattes die Gleichungen i, m, p und vergleiche mit den Lösungen auf der letzten Seite: Arbeitsblatt: Logarithmus

Kann man die Gleichung in eine Form bringen, in der nur zwei Potenzen mit gleicher Basis vorkommen, so kann man einen Exponentenvergleich durchführen, denn wenn die Basen gleich sein, dann müssen auch die Exponenten gleich sein.

Beispiel 3

Es soll die Gleichung $9^{x+1}=3^{3-2x}$ gelöst werden. Die Zahl 9 kann auch als $3^2$ geschrieben werden. Damit erhält man die neue Gleichung $3^{2\cdot (x+1)}=3^{3-2x}$. Durch den Exponentenvergleich reduziert sich die Gleichung auf $2\cdot (x+1)=3-2x$ und durch wenige Umformungen erhält man die Lösung $x=0{,}25$.

Manchmal ist es sinnvoll, Potenzen mit Summen oder Differenzen im Exponenten gemäß der Regel $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$ zu zerlegen.

Beispiel 4

Es soll die Gleichung $5^{x+3}-8 = 5^{x-1}$ gelöst werden. Als erstes werden die Potenzen zerlegt, wodurch man $5^x\cdot 5^3-8 = 5^x\cdot 5^{-1}$ erhält. Nun werden alle Terme, die die Potenz $5^x$ enthalten, auf eine Seite gebracht (mit dem Ziel, diese Potenz herauszuheben). Man erhält: $$5^x\cdot 5^3-5^x\cdot 5^{-1} = 8$$ $$5^x\cdot (\underbrace{5^3- 5^{-1}}_{124{,}8}) = 8$$ $$5^x = \frac{8}{124{,}8}$$ Als nächstes wird durch beidseitiges Logarithmieren die gesuchte Variable aus dem Exponenten entfernt: $$x\cdot \lg(5) = \lg\left(\frac{8}{124{,}8}\right)$$ $$x = \frac{ \lg\left(\frac{8}{124{,}8}\right)}{\lg(5)} \approx -1{,}70698$$

Zwei weitere Beispiele werden im folgenden Video vorgerechnet und erklärt:

Aufgabe 3

Löse die Aufgaben 6k und 6n des folgenden Arbeitsblattes und vergleiche mit den Lösungen auf der letzten Seite: Arbeitsblatt: Logarithmus

Kommen in einer Exponentialgleichung Summen und Differenzen außerhalb der Exponenten vor, so kann die Lösung normalerweise nur mittels Computer näherungsweise bestimmt werden. In sehr speziellen Fällen ist es jedoch auch durch einen „Trick“ möglich, die Lösung zu berechnen. Dazu wird eine Potenz durch eine neue Variable ersetzt (substituiert), wodurch die Exponentialgleichung zu einer neuen Art von Gleichung wird (z. B. einer quadratischen Gleichung). Kennt man die Lösung dieser neuen Gleichung, so kann man durch Rücksubstituieren die ursprünglich gesuchte Variable bestimmen.

Beispiel 5

Es soll die Gleichung $3 \cdot 4^x − 21 \cdot 2^x + 30 = 0$ gelöst werden. Um die Substitutionsmethode anwenden zu können, muss man erkennen, dass der Zusammenhang $4^x = 2^{2x} = (2^x)^2$ gilt. Man kann die Potenz $2^x$ dann durch eine neue Variable $y$ ersetzen, wodurch man folgende Gleichung erhält: $$3y^2 − 21y + 30 = 0$$ Anstelle einer Exponentialgleichung handelt es sich hierbei um eine quadratische Gleichung, deren Lösungen $y_1 = 2$ und $y_2 = 5$ lauten. Mit diesen beiden Resultaten werden durch Rücksubstitution die Lösungen der ursprünglichen Exponentialgleichung bestimmt. Dazu werden in die Gleichung $y = 2^x$ für $y$ die beiden Lösungen eingesetzt: $$2 = 2^x \Rightarrow \ln(2) = x \cdot \ln(2) \Rightarrow x = 1$$ $$5 = 2^x \Rightarrow \ln(5) = x \cdot \ln(2) \Rightarrow x = \frac{\ln(5)}{\ln(2)} \approx 2{,}32193$$ Die Lösungen der ursprünglichen Exponentialgleichung sind somit $x_1 = 1$ und $x_2 \approx 2{,}32193$.

Es kann auch vorkommen, dass derartige Gleichungen nur eine (oder sogar gar keine) Lösung haben. Falls ein Ergebnis für $y$ nicht positiv ist, so kann die Rücksubstitution nicht durchgeführt werden, da Logarithmen nur von positiven Zahlen berechnet werden können. In den folgenden beiden Videos wird die Substitutionsmethode verwendet:

Aufgabe 4

Löse die folgenden Gleichungen:

1. $2\cdot 9^x-5\cdot 3^x-12=0$ (Lösung: 1,26186)
2. $2\cdot e^{2x}=26\cdot e^x-60$ (Lösungen: 1,09861 und 2,30259)

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