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Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu quadratischen Gleichungen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

1. Lösungen bestimmen

Berechne alle Lösungen der folgenden Gleichungen. Gib dabei jeweils einen vollständigen Lösungsweg an!
a) $~12 x^2-6 = 3 + 6x^2$
b) $~3 x^2-4x=x\cdot (5- 4x)$
c) $~(5-6x)\cdot (5+6x)=12$

Berechne alle Lösungen der folgenden Gleichungen. Gib dabei jeweils einen vollständigen Lösungsweg an!
a) $~9x^2-8x-19=0$
b) $~7x-6 = 12-5x^2+2x$

Löse die quadratische Gleichung $~96-(3-2 x)^2=(3x-4 )\cdot (3+6x)~$ durch handschriftliche Rechnung.

#1309 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Erkläre jeweils, welcher Fehler beim Einsetzen in die Lösungsformel gemacht wurde:
a) $~~3 x^2-5x+2 =0 ~~~\Rightarrow~~~ x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{ (-5)^2-4\cdot 3 \cdot 2~ }}{2\cdot 3}$
b) $~~2 x^2-7x-4 =0 ~~~\Rightarrow~~~ x_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{ -7^2+4\cdot 2 \cdot 4 ~}}{2\cdot 2}$

2. Lösungsfälle

#205 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib eine beliebige quadratische Gleichung in der Form $ax^2+bx+c=0$ an, die genau eine Lösung besitzt und beschreibe nachvollziehbar, wie man eine derartige Gleichung finden kann (ohne zufällige Zahlenkombinationen zu probieren).

#206 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib eine beliebige quadratische Gleichung in der Form $ax^2+bx+c=0$ an, die keine reelle Lösung besitzt und beschreibe nachvollziehbar, wie man eine derartige Gleichung finden kann (ohne zufällige Zahlenkombinationen zu probieren).

#341 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gegeben ist die quadratische Gleichung $2x^2 + 4x + c = 0$ mit einer reellen Konstante $c$. Vervollständige die Sätze so, dass sie mathematisch korrekt sind.
  ▪  Ist $c<2$, dann hat die Gleichung
  ▪  Ist $c=2$, dann hat die Gleichung
  ▪  Ist $c>2$, dann hat die Gleichung

Kreuze jeweils an, wie viele verschiedene reelle Lösungen die folgenden quadratischen Gleichungen besitzen.
$x^2=-5$
$1.3x^2-2.2=3.9x$
$22+7x^2=4x$
$7x^2-22x+7=0$

#1058 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Begründe ausführlich und mathematisch korrekt, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: Wenn bei der Gleichung $ax^2+bx+c=0$ entweder $a$ oder $c$ negativ ist (aber nicht beide), so besitzt die Gleichung mindestens eine reelle Lösung.

3. Allgemeine Textaufgaben

#377 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Der Zähler eines Bruches ist um 7 größer als dessen Nenner. Werden Zähler und Nenner um 8 vergrößert, so wird der Bruch um $\frac{1}{10}$ kleiner als der ursprüngliche Bruch. Bestimme alle Brüche, welche diese Eigenschaft erfüllen.

Die Summe von drei direkt aufeinanderfolgenden beträgt 1325. Bestimme die Wurzeln der beteiligten Quadratzahlen!

Gesucht ist eine positive Zahl $x$ mit folgender Eigenschaft: Multipliziert man das Dreifache von $x$ mit jener Zahl, die um 5 kleiner ist als $x$, so erhält man 1638. Berechne die gesuchte Zahl!

Bildet man die Summe aus einer natürlichen Zahl und ihrer Quadratzahl, so erhält man 4556. Um welche Zahl handelt es sich?

Die Summe von zwei natürlichen Zahlen lautet 72. Das Produkt dieser Zahlen ist 1040. Um welche Zahlen handelt es sich?

#795 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Finde alle Zahlen, für welche $x+x$ und $x\cdot x$ zum selben Ergebnis führen.

4. Geometrische Aufgaben

Die Oberfläche $O$ eines Zylinders wird durch die Formel $O= 2r^2\pi+ 2r\pi h$ berechnet. Ein Zylinder hat die Oberfläche $O=9.67\,\text{dm}^2$ und die Höhe $h=11.6\,\text{cm}$. Berechne den Radius $r$ und das Volumen $V$ des Zylinders. Achte auf die Einheiten!

Der Umfang eines Rechtecks beträgt 216 mm. Der Flächeninhalt beträgt 25.6 cm². Welche Länge haben die beiden Seiten des Rechtecks?

Bei einem Rechteck ist eine Seite um 24 cm kürzer als die andere. Die Diagonale beträgt 70 cm. Wie lang sind die beiden Seiten des Rechtecks?

#540 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Begründe ausführlich und mathematisch korrekt, warum es ein Rechteck mit Umfang 8 cm und Flächeninhalt 5 cm² nicht gibt.

#577 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gegeben ist ein quadratisches Stück Karton mit Seitenlänge $a$. Daraus soll gemäß der abgebildeten nicht maßstabgetreuen Skizze eine Faltschachtel mit einer Höhe von 9 cm hergestellt werden.

a) Erstelle eine Formel für das Volumen der entstehenden Schachtel.
b) Berechne, welche Seitenlänge der Karton haben muss, damit das Volumen der Schachtel 700 cm³ beträgt.

Bei einem Rechteck ist eine Seite um 2.6 m kürzer als die andere Seite. Der Flächeninhalt beträgt 67.95 m². Berechne die beiden Seitenlängen!

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete um 75 mm länger als die andere Kathete. Der Flächeninhalt beträgt 54.2 cm². Berechne die beiden Kathetenlängen!

Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks, sodass die Differenz zwischen den beiden Seitenlängen dieselbe ist, wie jene zwischen der längeren Seite und der Diagonale. Die Länge der Diagonale beträgt 275 mm.

Es sollen die Seitenlängen zweier Quadrate bestimmt werden. Die Differenz der Seitenlängen beträgt 6.5 cm. Die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate beträgt 192.2 cm².

Das Volumen eines Kegelstumpfes kann durch folgende Formel berechnet werden: $$V=\frac{h\cdot\pi}{3}\cdot (R^2+R\cdot r+r^2)$$
a) Erstelle mittels GeoGebra eine allgemeine Formel zur Berechnung des Radius $r$.
b) Das Volumen beträgt 77 cm³, die Höhe ist 34 mm und der Radius $R$ der Grundfläche ist 3.4 cm. Berechne den Radius $r$ der Deckfläche. Achte auf die Einheiten!

#955 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Bei einem Monitor mit einer Bildschirmdiagonale von 89,0 cm unterscheiden sich die beiden Seitenlängen um 46,74 cm.
a) Rechne die Bildschirmdiagonale um in Zoll. Recherchiere gegebenenfalls die Umrechnung im Internet.
Bildschirmdiagonale: [2] Zoll
b) Berechne die beiden Seitenlängen und gib einen vollständigen Rechenweg an.
Ergebnis (inkl. Rechenweg):
c) Wähle das passende Seitenverhältnis aus.
Seitenverhältnis:

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete um 49 mm länger als die andere Kathete. Die Hypotenuse ist 17.5 cm lang. Berechne die Länge der beiden Katheten.

5. Physikalische Aufgaben

Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ stehen im rechten Winkel aufeinander. Es ist bekannt, dass $F_2$ um 61 N größer ist als $F_1$. Die resultierende Kraft $F_R$ beträgt 769 N. Berechne, wie groß die beiden Kräfte sind!

Zwei Kugeln mit den Massen $m_1=160\,\mathrm{g}$ und $m_2=270\,\mathrm{g}$ stoßen mit den Geschwindigkeiten $v_1=2.3\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ und $v_2=-0.8\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ zusammen. Die negative Geschwindigkeit der zweiten Kugel bedeutet, dass sie sich in die entgegengesetzte Richtung der ersten Kugel bewegt. Beim elastischen Stoß haben Energie- und Impulserhaltungssatz die folgende Form:
  ▪  Energieerhaltungssatz: Die Summe der kinetischen Energien $\frac{m\cdot v^2}{2}$ vor und nach dem Stoß ist gleich.
  ▪  Impulserhaltungssatz: Die Summe der Impulse $m\cdot v$ vor und nach dem Stoß ist gleich.
Berechne die Geschwindigkeiten $w_1$ und $w_2$ nach dem Stoß.

#872 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Für den Bremsweg $s$ eines Fahrzeuges mit konstanter Bremsverzögerung gilt folgende physikalische Formel: $$s=v_0\cdot t- \frac{a}{2}\cdot t^2$$ Dabei ist $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit, $a$ die Bremsverzögerung und $t$ die Bremsdauer. Berechne die Bremsdauer, wenn der Bremsweg 45 m, die Bremsverzögerung 10 m/s² und die Anfangsgeschwindigkeit 108 km/h beträgt.

6. Formeln

#264 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Forme folgende Formel aus der Physik nach der Variable $t$ um: $$s=\frac{a}{2}\cdot t^2$$

#864 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Erstelle aus der folgenden Gleichung der Physik eine möglichst einfache Formel zur Berechnung der Größe $t$. $$s=s_0+v_0\cdot t+\frac{a}{2}\cdot t^2$$

#974 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Oberfläche $O$ eines Drehkegels kann durch die Formel $O=2\pi r^2+2\pi rh$ berechnet werden. Erstelle daraus eine Formel, mit welcher aus der Oberfläche $O$ und der Höhe $h$ der zugehörige Radius $r$ ermittelt werden kann. Vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich!

7. Vermischte Aufgaben

#586 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gegeben ist die Gleichung $1{,}2x^2 - 4{,}9x + 2{,}3 = 3{,}5x - 9{,}7$. Gib jeweils an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
1 ist Lösung dieser Gleichung.
2 ist Lösung dieser Gleichung.
3 ist Lösung dieser Gleichung.
4 ist Lösung dieser Gleichung.
5 ist Lösung dieser Gleichung.

Finde Werte für $p$ und $q$, sodass die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ die Lösungen $x_1=-23$ und $x_2=16$ besitzt.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).