Aufgaben zur Matrizenrechnung

Auf dieser Seite befinden sich Aufgaben zur Matrizenrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben dieser Internetseite werden in jeder Session – also nach jedem Neustart des Webbrowsers oder nach jedem neuen Login – neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich einzelne Zahlenwerte verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf exakt dieselbe Aufgabe zugreifen, so sollte daher ein Screenshot angefertigt werden.

Inhaltsverzeichnis

1. Grundrechenarten

#321 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Zeige anhand zweier geeigneter $2\times 2$-Matrizen, dass die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

#526 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Erkläre, warum für $2\times 2$-Matrizen die binomische Formel $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ nicht allgemein gilt. Beschreibe außerdem, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit die binomische Formel verwendet werden kann.

#1271 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Es sind die folgenden Matrizen gegeben: $$ A=\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\hspace{15mm} B=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \hspace{15mm} C=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$
Berechne jeweils die Ergebnisse:
$A-B+C$
$A\cdot B+C$
$A-B\cdot C$
$A\cdot B\cdot C$
$A\cdot (B-C)$

#1272 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Es sind die folgenden Matrizen gegeben: $$ A=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\hspace{15mm} B=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 6 \\ 6 & 4 & 3 \end{pmatrix} \hspace{15mm}$$
a) Berechne $A\cdot B$.
b) Berechne $B\cdot A$.

#1273 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Es ist die folgende Matrizenrechnung gegeben: $$ A\cdot B\cdot C=\begin{pmatrix} -3 & -1 & -3 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$
a) Berechne das Ergebnis auf zwei verschiedene Arten durch handschriftliche Rechnung:
Variante 1: $~~(A\cdot B)\cdot C$
Variante 2: $~~A\cdot (B\cdot C)$
b) Beschreibe, welche der beiden Varianten effizienter ist und begründe deine Überlegungen nachvollziehbar.
2. Inverse, Determinante und Transponierte

#60 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Berechne das Ergebnis. $$\begin{pmatrix} 4 & 4 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 4 & 1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}-2 \cdot \begin{pmatrix} -5 & 4 \\ 6 & 13 \end{pmatrix}^\top$$

#527 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Gegeben ist die Matrix $A$: $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -2 & 1 & 2\\ 4 & 4 & -2 \end{pmatrix}$$ Überprüfe, ob die Matrix $B$ die inverse Matrix von $A$ ist und begründe deine Entscheidung. $$B=\begin{pmatrix} 5 & -2 & -2\\ -2 & 1 & 1\\ 6 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$

#581 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Gegeben sind die folgenden beiden Matrizen: $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}~~~~~~~~~~~~~~~B=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 3\\ -2 & 3 & 1\\ 3 & 2 & -5 \end{pmatrix}$$ Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
$\det(A) = 5$
$A$ ist nicht invertierbar.
$B$ ist die inverse Matrix von $A$.

#760 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Betrachte die folgende Matrizenrechnng und gib anschließend an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. $$ A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Es gilt $A=-B$.
$A$ ist die transponierte Matrix von $B$.
$B$ ist die inverse Matrix von $A$.
Das Produkt $A\cdot B$ ist kommutativ.
$A$ ist die inverse Matrix von $B$.
$B$ ist die transponierte Matrix von $A$.
3. Matrizengleichungen

#63 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Löse die folgende Matrizengleichung! $$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\cdot X= \begin{pmatrix} -8 & 4 \\ -3 & -6 \end{pmatrix}$$

#95 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Löse die folgende Matrizengleichung! $$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\cdot X\cdot \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$$
4. Lineare Gleichungssysteme

#1277 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Es ist das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:
[1] $2x+ 3y= 8$
[2] $6x+ 9y= -13$
a) Berechne die Determinante der zugehörigen Koeffizientenmatrix.
b) Erkläre, wie man anhand dieser Determinante erkennen kann, dass dieses Gleichungssystem keine eindeutige Lösung besitzt.
5. Vermischte Aufgaben

#1077 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Jede quadratische Matrix ist invertierbar.
Eine invertierbare Matrix ist immer quadratisch.
Eine Matrix kann verschiedene inverse Matrizen besitzen.
Für alle invertierbaren Matrizen gilt $(A^{-1})^{-1} = A$.
Für jede invertierbare Matrix gilt $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$.

#1249 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Aufgabe neu generieren · Fehler melden
Beantworte die folgenden Fragen jeweils nachvollziehbar (z. B. durch konkrete Beispiele oder die Verwendung allgemein gültiger Eigenschaften).
a) Ist es möglich, dass bei einer $2\times 2$-Matrix $A$ sowohl die Matrix $A$ als auch ihre Inverse $A^{-1}$ keine negativen Einträge besitzen?
b) Ist es möglich, dass bei einer $2\times 2$-Matrix $A$ sowohl die Matrix $A$ als auch ihre Inverse $A^{-1}$ nur positive Einträge besitzen?
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