Zeige anhand zweier geeigneter $2\times 2$-Matrizen, dass die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Erkläre, warum für $2\times 2$-Matrizen die binomische Formel $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ nicht allgemein gilt. Beschreibe außerdem, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit die binomische Formel verwendet werden kann.

Es sind die folgenden Matrizen gegeben: $$ A=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}\hspace{15mm} B=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \hspace{15mm} C=\begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} $$ Berechne jeweils die Ergebnisse: $A-B+C$ $A\cdot B+C$ $A-B\cdot C$ $A\cdot B\cdot C$ $A\cdot (B-C)$

Es sind die folgenden Matrizen gegeben: $$ A=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\hspace{15mm} B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \hspace{15mm}$$ a) Berechne $A\cdot B$. b) Berechne $B\cdot A$.

Es ist die folgende Matrizenrechnung gegeben: $$ A\cdot B\cdot C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 & -3 & 3 \\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ a) Berechne das Ergebnis auf zwei verschiedene Arten durch handschriftliche Rechnung: Variante 1: $~~(A\cdot B)\cdot C$ Variante 2: $~~A\cdot (B\cdot C)$ b) Beschreibe, welche der beiden Varianten effizienter ist und begründe deine Überlegungen nachvollziehbar.

Berechne das Ergebnis. $$\begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 4 & -1 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 4 & 3 \\ 5 & -5 \end{pmatrix}-4 \cdot \begin{pmatrix} -5 & 4 \\ 4 & 13 \end{pmatrix}^\top$$

Gegeben ist die Matrix $A$: $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -2 & 1 & 2\\ 4 & 4 & -2 \end{pmatrix}$$ Überprüfe, ob die Matrix $B$ die inverse Matrix von $A$ ist und begründe deine Entscheidung. $$B=\begin{pmatrix} 5 & -2 & -2\\ -2 & 1 & 1\\ 6 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$

Gegeben sind die folgenden beiden Matrizen: $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}~~~~~~~~~~~~~~~B=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 3\\ -2 & 3 & 1\\ 3 & 2 & -5 \end{pmatrix}$$ Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. wahr falsch $\det(A) = 5$ wahr falsch $A$ ist nicht invertierbar. wahr falsch $B$ ist die inverse Matrix von $A$.

Betrachte die folgende Matrizenrechnng und gib anschließend an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. $$ A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ wahr falsch Es gilt $A=-B$. wahr falsch $A$ ist die transponierte Matrix von $B$. wahr falsch $B$ ist die inverse Matrix von $A$. wahr falsch Das Produkt $A\cdot B$ ist kommutativ. wahr falsch $A$ ist die inverse Matrix von $B$. wahr falsch $B$ ist die transponierte Matrix von $A$.

Löse die folgende Matrizengleichung! $$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}\cdot X= \begin{pmatrix} -8 & 2 \\ -4 & -7 \end{pmatrix}$$

Löse die folgende Matrizengleichung! $$\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\cdot X\cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Es ist das folgende lineare Gleichungssystem gegeben: [1] $2x+ 3y= 4$ [2] $6x+ 9y= -13$ a) Berechne die Determinante der zugehörigen Koeffizientenmatrix. b) Erkläre, wie man anhand dieser Determinante erkennen kann, dass dieses Gleichungssystem keine eindeutige Lösung besitzt.

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. wahr falsch Jede quadratische Matrix ist invertierbar. wahr falsch Eine invertierbare Matrix ist immer quadratisch. wahr falsch Eine Matrix kann verschiedene inverse Matrizen besitzen. wahr falsch Für alle invertierbaren Matrizen gilt $(A^{-1})^{-1} = A$. wahr falsch Für jede invertierbare Matrix gilt $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$.

Beantworte die folgenden Fragen jeweils nachvollziehbar (z. B. durch konkrete Beispiele oder die Verwendung allgemein gültiger Eigenschaften). a) Ist es möglich, dass bei einer $2\times 2$-Matrix $A$ sowohl die Matrix $A$ als auch ihre Inverse $A^{-1}$ keine negativen Einträge besitzen? b) Ist es möglich, dass bei einer $2\times 2$-Matrix $A$ sowohl die Matrix $A$ als auch ihre Inverse $A^{-1}$ nur positive Einträge besitzen?