Gegeben ist die Folge $a_n= 530 n^2-4 n^3$. Diese Folge ist zunächst streng monoton wachsend, was sich jedoch ab einem bestimmten Folgenglied ändert. Ab welchem $n$ gilt $ a_n < a_{n-1} $?

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. wahr falsch Eine nach oben unbeschränkte Folge ist immer streng monoton wachsend. wahr falsch Jede streng monoton wachsende Folge ist nach oben unbeschränkt. wahr falsch Eine Folge kann zugleich monton wachsend und monoton fallend sein. wahr falsch Eine nach oben beschränkte Folge ist niemals streng monoton wachsend. wahr falsch Die Folge mit dem erzeugenden Term $5 + (-1)^n$ ist alternierend.

Gegeben ist die folgende Folge: $$a_n=\frac{14 n^2+7 n+2}{8 n^2+4}$$ a) Bestimme den Grenzwert $a$ dieser Folge! b) Ab welchem $n$ gilt $|\,a_n-a\,|<0.001$?

Berechne die Grenzwerte der folgenden Folgen!

a) $a_n=6- \frac{13-2 n^3}{8 n^3+4 n^2-11n+25}$

b) $b_n=\left( 1+\frac{4.1}{n} \right)^n$

c) $c_n=8.8+(-4)^n\cdot 0.1^{n}$

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. wahr falsch Die Zahl $a$ kann Grenzwert einer Folge sein, obwohl kein einziges Folgenglied tatsächlich den Wert $a$ hat. wahr falsch Wenn unendlich viele Glieder einer Folge den Wert $a$ haben, dann ist $a$ jedenfalls der Grenzwert dieser Folge. wahr falsch Wenn $a_n$ eine beschränkte Folge ist und die Folge $b_n$ den Grenzwert 5 besitzt, dann ist der Grenzwert der Folge $a_n \cdot b_n$ jedenfalls 5. wahr falsch Wenn $a_n$ eine beschränkte Folge ist und die Folge $b_n$ den Grenzwert 0 besitzt, dann ist der Grenzwert der Folge $a_n \cdot b_n$ jedenfalls 0.

Es ist die Folge $a_n=\frac{9 n^2+16}{6 n^2+21}$ gegeben. Berechne, ab welchem $n$ der Abstand zwischen $a_n$ und dem Grenzwert der Folge kleiner als $10^{-5}$ ist.

Bestimme das Supremum und das Infimum der folgenden Folge: $$a_n=6.7\cdot\left( \frac{1}{n^2}-1 \right)^n+3.2$$

Es ist folgende Folge gegeben: $$a_n=5 \cdot \sin \left( \frac{n\pi}{3} \right)\cdot \frac{n}{n+12}$$ a) Wie viele Häufungspunkte hat diese Folge? b) Bestimme den Limes superior und den Limes inferior dieser Folge.

Nachfolgende Abbildung zeigt die ersten drei Glieder einer Folge.

Gib einen Term an, mit dem man die Anzahl der schwarzen Punkte für beliebige Folgenglieder berechnen kann. Vereinfache den Term so weit wie möglich und dokumentiere deine Überlegungen möglichst nachvollziehbar.

Das Collatz-Problem (benannt nach dem deutschen Mathematiker Lothar Collatz) ist eine bisher nicht bewiesene Vermutung, die besagt, dass für eine beliebige positive natürliche Zahl die nachfolgend definierte Folge immer mit dem Zyklus $4, 2, 1, 4, 2, 1, ...$ endet:   ▪  Falls das aktuelle Folgenglied gerade ist, dividiere es durch 2.  ▪  Falls das aktuelle Folgenglied ungerade ist, multipliziere es mit 3 und addiere 1. Bestätige diese Vermutung für die Zahl 24, indem du solange alle Folgenglieder aufschreibst, bis die Zahl 1 zum ersten Mal erreicht wurde.

Nachfolgende Abbildung zeigt die ersten drei Glieder einer Folge.

Gib einen Term an, mit dem man die Anzahl der schwarzen Punkte für beliebige Folgenglieder berechnen kann.

Wird die unten angedeutete Iteration unendlich fortgesetzt, so entsteht das sogenannte Sierpinski-Dreieck.

a) Berechne den Flächeninhalt des Sierpinski-Dreiecks. b) Berechne den Umfang (die Randlänge) des Sierpinski-Dreiecks.

Erstelle jeweils einen Folgenterm, der die vorgegebene Eigenschaft erfüllt. Verwende dazu die Variable $n$. a) Die Folge soll beschränkt sein, jedoch keinen Grenzwert besitzen. b) Die Folge soll streng monoton steigend sein und den Grenzwert 7 besitzen. c) Die Folge alternierend und konvergent sein.