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Kurse

Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten | keine weitere Lektion vorhanden

1. Addition und Subtraktion

Die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen in Polarform ist nicht sinnvoll. Hierfür sollten die Zahlen in die kartesische Form umgerechnet werden.

2. Multiplikation

Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert.
Herleitung: Gegeben sind die Zahlen $z_1 = r_1 \cdot e^{\varphi_1 \cdot i}$ und $z_2 = r_2 \cdot e^{\varphi_2 \cdot i}$. Für die Multiplikation erhält man: $$z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot e^{\varphi_1 \cdot i} \cdot r_2 \cdot e^{\varphi_2 \cdot i} = r_1\cdot r_2 \cdot e^{\varphi_1 \cdot i} \cdot e^{\varphi_2 \cdot i} = r_1\cdot r_2 \cdot e^{\varphi_1 \cdot i +\varphi_2 \cdot i } = r_1\cdot r_2 \cdot e^{(\varphi_1 +\varphi_2 )\cdot i } $$
Beispiel 1: Es sind die komplexen Zahlen $z_1 = 3 \cdot e^{\frac {\pi}{3}\cdot i}$ und $z_2 = 2 \cdot e^{-\frac {2\pi}{5} \cdot i}$ gegeben, und es soll das Produkt $z_1\cdot z_2$ berechnet werden.
$$z_1\cdot z_2 = 3 \cdot e^{\frac {\pi}{3}\cdot i} \cdot 2 \cdot e^{-\frac {2\pi}{5} \cdot i} = 6\cdot e^{\frac {\pi}{3}\cdot i + \left( -\frac {2\pi}{5} \cdot i \right)} = 6 \cdot e^{-\frac {\pi}{15} \cdot i}\approx 6 \cdot e^{-0{,}20944 \cdot i}$$

3. Division

Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert.
Herleitung: Gegeben sind die Zahlen $z_1 = r_1 \cdot e^{\varphi_1 \cdot i}$ und $z_2 = r_2 \cdot e^{\varphi_2 \cdot i}$. Für die Division erhält man: $$\frac{z_1}{z_2}= \frac{r_1 \cdot e^{\varphi_1 \cdot i}}{r_2 \cdot e^{\varphi_2 \cdot i}} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{e^{\varphi_1 \cdot i}}{e^{\varphi_2 \cdot i}} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{\varphi_1 \cdot i - \varphi_2 \cdot i}= \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{(\varphi_1 -\varphi_2 )\cdot i } $$
Beispiel 2: Es sind die komplexen Zahlen $z_1 = 2 \cdot e^{0{,}8\cdot i}$ und $z_2 = 5 \cdot e^{-1{,}3\cdot i}$ gegeben, und es soll $\frac{z_1}{z_2}$ berechnet werden.
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 \cdot e^{0{,}8\cdot i}}{5 \cdot e^{-1{,}3\cdot i}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{e^{0{,}8\cdot i} }{e^{-1{,}3\cdot i}} = \frac{2}{5} \cdot e^{0{,}8\cdot i - (-1{,}3\cdot i)} = 0{,}4 \cdot e^{2{,}1\cdot i}$$

4. Potenzen (mit ganzzahligem Exponent)

Auch das Potenzieren von komplexen Zahlen ist in Polarform sehr viel einfacher. Anstatt die binomischen Formeln anwenden zu müssen, wird lediglich der Betrag $r$ mit dem entsprechenden Exponenten potenziert und der Winkel $\varphi$ mit dem Exponenten multipliziert.
Herleitung: Gegeben ist die Zahl $z = r \cdot e^{\varphi \cdot i}$. Für die Potenz $z^n$ erhält man: $$ z^n = \left( r \cdot e^{\varphi \cdot i} \right)^n = r^n \cdot \left( e^{\varphi \cdot i} \right)^n = r^n \cdot e^{n\cdot \varphi \cdot i}$$
Beispiel 3: Es ist die Zahl $z=2 \cdot e^{0{,}7\cdot i}$ gegeben und es soll $z^5$ berechnet werden.
$$z^5 = \left( 2 \cdot e^{0{,}7\cdot i} \right)^5 = 2^5 \cdot e^{5\cdot 0{,}7\cdot i} =32 \cdot e^{3{,}5 \cdot i}$$ Da der Winkel $\varphi = 3{,}5$ größer als $\pi$ ist, muss er für eine eindeutige Darstellung noch umgerechnet werden, indem man $2\pi$ subtrahiert. Man erhält $3{,}5-2\pi \approx -2{,}78319$ und somit lautet das Endergebnis $z^5 \approx 32 \cdot e^{-2{,}78319 \cdot i}$.

5. Zusammenfassung

Für Addition und Subtraktion sollte man auf jeden Fall die kartesischen Koordinaten $a$ und $b$ verwenden. Bei den anderen Rechenoperationen (Multiplikation, Division, Potenz) ist jedoch die Verwendung von Polarkoordinaten weitaus effizienter.
Aufgabe 1: Lösen Sie die folgende Aufgabe: #1431
Aufgabe 2: Lösen Sie Aufgabe 12 (ohne $\sqrt{z_2}$) des folgenden Arbeitsblattes und vergleichen Sie mit den Lösungen auf Seite 4: Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen
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