Teilmengen der Zahlenebene | Rechnen mit komplexen Zahlen (Polarkoordinaten)

Eine komplexe Zahl kann nicht nur durch ihren Real- und Imaginärteil beschrieben werden, sondern auch durch den Abstand $r$ vom Ursprung (Betrag) und den Winkel $\varphi$, den sie mit der Realachse einschließt (gemessen in Radiant, gegen den Uhrzeigersinn). Es gilt folgender Zusammenhang: $$a+b\cdot i = r\cdot e^{\varphi \cdot i}$$ Hier wird zur eindeutigen Darstellung meistens $-\pi < \varphi \leq \pi$ festgelegt. Man bezeichnet die Koordinaten $r$ und $\varphi$ als Polarkoordinaten. In diesem Zusammenhang wird $r$ auch als Radius und $\varphi$ als Argument der komplexen Zahl bezeichnet. Für letzteres verwendet man auch die Schreibweise $\mathrm{arg}(z)$. Sofern dies nicht explizit anders angegeben ist, wird im Zusammenhang mit komplexen Zahlen ausschließlich das Bogenmaß (also die Winkeleinheit $\mathrm{rad}$) verwendet. Ist eine komplexe Zahl in der Form $a+b\cdot i$ gegeben, so gelten die folgenden Formeln zur Berechnung von $r$ und $\varphi$: $$r=\sqrt{a^2 +b^2}$$ $$\varphi=\begin{cases} \arccos\left( \frac{a}{r} \right),&b\geq 0\\ -\arccos\left( \frac{a}{r} \right),&b< 0\\ \end{cases}$$

ausklappen Aus der obigen Abbildung erkennt man, dass für Winkel zwischen 0° und 90° der Zusammenhang $\cos(\varphi)=\frac{a}{r}$ und somit $\varphi = \arccos\left( \frac{a}{r} \right)$ gilt. Um zu begründen, dass die oben genannte Formel auch für größere Winkel und für negative Winkel anwendbar ist, werden die nachfolgend dargestellten Zahlen $z_1$ bis $z_8$ verwendet.

Der Funktionsgraph der Arkuskosinus-Funktion sieht folgendermaßen aus:

Zunächst werden die Zahlen $z_1$ bis $z_5$ behandelt, bei denen $b\geq 0$ gilt:

• Für $z_1$ ist das Verhältnis $\frac{a}{r}=1$, denn $a=r$. Laut Funktionsgraph resultiert daher der Winkel $\varphi = 0$.
• Für $z_2$ ist das Verhältnis $\frac{a}{r}$ zwischen 0 und 1. Laut Funktionsgraph resultiert daher ein Winkel zwischen 0 und $\frac{\pi}{2}$.
• Für $z_3$ ist das Verhältnis $\frac{a}{r}=0$, denn $a=0$. Laut Funktionsgraph resultiert daher ein Winkel von exakt $\frac{\pi}{2}$.
• Für $z_4$ ist das Verhältnis $\frac{a}{r}$ zwischen $0$ und $-1$. Laut Funktionsgraph resultiert daher ein Winkel zwischen $\frac{\pi}{2}$ und $\pi$.
• Für $z_5$ ist das Verhältnis $\frac{a}{r}=-1$, denn $a=-r$. Laut Funktionsgraph resultiert daher der Winkel $\varphi = \pi$.

Für die Zahlen $z_6$ bis $z_8$ ist $b< 0$. Der Winkel wird daher im Uhrzeigersinn gemessen und ist somit negativ. Deshalb muss $-\arccos\left( \frac{a}{r} \right)$ verwendet werden.

• Für $z_6$ ist das Verhältnis $\frac{a}{r}$ zwischen 0 und 1. Laut Funktionsgraph resultiert daher ein Winkel zwischen 0 und $\frac{\pi}{2}$. Da der negative Arkuskosinus verwendet wird, liegt der Winkel zwischen 0 und $-\frac{\pi}{2}$.
• Für $z_7$ ist das Verhältnis $\frac{a}{r}=0$, denn $a=0$. Laut Funktionsgraph resultiert daher ein Winkel von exakt $\frac{\pi}{2}$ und aufgrund des negativen Arkuskosinus erhält man $-\frac{\pi}{2}$.
• Für $z_8$ ist das Verhältnis $\frac{a}{r}$ zwischen $0$ und $-1$. Laut Funktionsgraph resultiert daher ein Winkel zwischen $\frac{\pi}{2}$ und $\pi$. Da der negative Arkuskosinus verwendet wird, liegt der Winkel zwischen $-\frac{\pi}{2}$ und $-\pi$.

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Es existiert auch eine andere Formel für $\varphi$, welche anstelle des $\arccos$ den $\arctan$ verwendet. Diese Formel ist jedoch weitaus komplizierter anzuwenden, da mehr als zwei Fälle zu berücksichtigen sind bzw. die Ergebnisse noch umgerechnet werden müssen. Daher ist die oben genannte Formel definitiv zu bevorzugen.

Es soll die Zahl $z=-4-3i$ in Polarform umgerechnet werden. Durch Einsetzen in die obigen Formeln erhält man die nachfolgenden Resultate. Weil $b=-3$ negativ ist, verwendet man $\varphi = -\arccos\left( \frac{a}{r} \right)$. $$r=\sqrt{(-4)^2+ (-3)^2}=\sqrt{25}=5$$ $$\varphi = -\arccos \left( \frac{-4}{5} \right)\approx -2{,}4981$$ Das Ergebnis lautet somit $z \approx 5\cdot e^{-2{,}4981 \cdot i}$.

Löse die folgenden Aufgabe: 17@komplexe-zahlen, 13@komplexe-zahlen

Löse von Aufgabe 13 des folgenden Arbeitsblattes die 1. und die 4. Zeile der Tabelle und vergleiche mit den Lösungen auf Seite 3: Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen

Für die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten werden folgende Formeln verwendet: $$a=r\cdot \cos(\varphi)$$ $$b=r\cdot \sin(\varphi)$$

ausklappen Für die Herleitung wird die folgende Abbildung verwendet.

Aus den Definitionen der Winkelfunktionen ergibt sich $\sin(\varphi)=\frac{b}{r}$ und $\cos(\varphi)=\frac{a}{r}$. Durch Multiplikation mit $r$ ergeben sich direkt die beiden oben genannten Formeln. einklappen

Es soll die Zahl $z=3\cdot e^{2{,}1\cdot i}$ in die kartesiche Form umgerechnet werden. Durch Einsetzen in die Formeln erhält man $a = 3 \cdot \cos(2{,}1) \approx -1{,}51$ und $b = 3 \cdot \sin(2{,}1) \approx 2{,}59$. Das Ergebnis lautet daher $z\approx -1{,}51 +2{,}59i$.

Löse die folgende Aufgabe: 14@komplexe-zahlen

Löse von Aufgabe 13 des folgenden Arbeitsblattes die 3. und die 6. Zeile der Tabelle und vergleiche mit den Lösungen auf Seite 3: Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen

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