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Eine komplexe Zahl kann nicht nur durch ihren Real- und Imaginärteil beschrieben werden, sondern auch durch den Abstand $r$ vom Ursprung (Betrag) und den Winkel $\varphi$, den sie mit der Realachse einschließt (gemessen in Radiant, gegen den Uhrzeigersinn). Es gilt folgender Zusammenhang: $$a+b\cdot i = r\cdot e^{\varphi \cdot i}$$ Hier wird zur eindeutigen Darstellung meistens $-\pi < \varphi \leq \pi$ festgelegt. Man bezeichnet die Koordinaten $r$ und $\varphi$ als Polarkoordinaten. In diesem Zusammenhang wird $r$ auch als Radius und $\varphi$ als Argument der komplexen Zahl bezeichnet. Für letzteres verwendet man auch die Schreibweise $\mathrm{arg}(z)$.

Sofern dies nicht explizit anders angegeben ist, wird im Zusammenhang mit komplexen Zahlen ausschließlich das Bogenmaß (also die Winkeleinheit $\mathrm{rad}$) verwendet.
Aufgabe 1: Lösen Sie die folgende Aufgabe: #1428

1. Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten

Ist eine komplexe Zahl in der Form $a+b\cdot i$ gegeben, so gelten die folgenden Formeln zur Berechnung von $r$ und $\varphi$: $$r=\sqrt{a^2 +b^2}$$ $$\varphi=\begin{cases} \arccos\left( \frac{a}{r} \right),&b\geq 0\\ -\arccos\left( \frac{a}{r} \right),&b< 0\\ \end{cases}$$
Begründung: ausklappen
Es existiert auch eine andere Formel für $\varphi$, welche anstelle des $\arccos$ den $\arctan$ verwendet. Diese Formel ist jedoch weitaus komplizierter anzuwenden, da mehr als zwei Fälle zu berücksichtigen sind bzw. die Ergebnisse noch umgerechnet werden müssen. Daher ist die oben genannte Formel definitiv zu bevorzugen.
Beispiel 1: Es soll die Zahl $z=-4-3i$ in Polarform umgerechnet werden. Durch Einsetzen in die obigen Formeln erhält man die nachfolgenden Resultate. Weil $b=-3$ negativ ist, verwendet man $\varphi = -\arccos\left( \frac{a}{r} \right)$. $$r=\sqrt{(-4)^2+ (-3)^2}=\sqrt{25}=5$$ $$\varphi = -\arccos \left( \frac{-4}{5} \right)\approx -2{,}4981$$ Das Ergebnis lautet somit $z \approx 5\cdot e^{-2{,}4981 \cdot i}$.
Aufgabe 2: Lösen Sie die folgende Aufgabe: #1429
Aufgabe 3: Lösen Sie Aufgabe 11a und 11d des folgenden Arbeitsblattes und vergleichen Sie mit den Lösungen auf Seite 3: Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen

2. Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten

Für die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten werden folgende Formeln verwendet: $$a=r\cdot \cos(\varphi)$$ $$b=r\cdot \sin(\varphi)$$
Herleitung: ausklappen
Beispiel 2: Es soll die Zahl $z=3\cdot e^{2{,}1\cdot i}$ in die kartesiche Form umgerechnet werden. Durch Einsetzen in die Formeln erhält man $a = 3 \cdot \cos(2{,}1) \approx -1{,}51$ und $b = 3 \cdot \sin(2{,}1) \approx 2{,}59$. Das Ergebnis lautet daher $z\approx -1{,}51 +2{,}59i$.
Aufgabe 4: Lösen Sie die folgende Aufgabe: #1430
Aufgabe 5: Lösen Sie Aufgabe 11c und 11f des folgenden Arbeitsblattes und vergleichen Sie mit den Lösungen auf Seite 3: Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen
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