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Kurse

In dieser Lektion werden die Rechenregeln für komplexe Zahlen in kartesischer Form behandelt.

1. Addition und Subtraktion

Für die Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen werden die Realteile und die Imaginärteile addiert bzw. subtrahiert.
Beispiel 1: Es sind die Zahlen $z_1 = 5-7i$ und $z_2=4+3i$ gegeben. $$z_1+z_2 = (5-7i) + (4+3i) = 9 - 4i $$ $$z_1-z_2 = (5-7i) - (4+3i) = 1 - 10i $$

2. Multiplikation

Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden die Klammern wie gewohnt multipliziert und das Ergebnis zusammengefasst. Es sollen am Ende keine Potenzen von $i$ vorkommen.
Beispiel 2: Bei der folgenden Multiplikation werden zuerst die Klammern ausmultipliziert. Anschließend wird $i^2$ durch $-1$ ersetzt und zusammengefasst. $$(3-2i)\cdot (4+i) = 12+3i-8i-2i^2 = 12-5i -2 \cdot (-1)=14-5i$$
Aufgabe 1: Lösen Sie die folgende Aufgabe: #1423
Aufgabe 2: Lösen Sie Aufgabe 6 des folgenden Arbeitsblattes und vergleichen Sie mit den Lösungen auf Seite 3: Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen

3. Division

Bei der Division von komplexen Zahlen soll das Ergebnis ebenfalls die Form $a+bi$ haben, d. h. insbesondere, dass im Nenner keine imaginäre Einheit mehr vorkommen soll. Damit der Nenner reell wird, erweitert man den Bruch mit der zum Nenner komplex konjugierten Zahl. Anschließend wird so weit wie möglich vereinfacht und das Ergebnis in die Form $a + bi$ gebracht.
Beispiel 3: Im ersten Schritt wird mit der komplex konjugierten Zahl des Nenners, also mit $3-i$, erweitert: $$\frac{5+4i}{3+i} = \frac{5+4i}{3+i}\cdot \frac{3-i}{3-i}$$ Anschließend wird der Zähler ausmultipliziert und im Nenner wird die 3. binomische Formel angewendet. $$\frac{5+4i}{3+i}\cdot \frac{3-i}{3-i} = \frac{15-5i+12i-4i^2}{9-i^2}$$ Zuletzt wird $i^2$ durch $-1$ ersetzt, zusammengefasst und das Ergebnis in der Form $a+bi$ geschrieben. $$\frac{15-5i+12i-4i^2}{9-i^2}=\frac{19+7i}{10}=1{,}9 +0{,}7i$$
Aufgabe 3: Lösen Sie die folgende Aufgabe: #1424
Aufgabe 4: Lösen Sie Aufgabe 7 des folgenden Arbeitsblattes und vergleichen Sie mit den Lösungen auf Seite 3: Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen

4. Potenzen (mit natürlichem Exponent)

Beim Potenzieren von komplexen Zahlen werden die binomischen Formeln verwendet. Auch hier sollen im Endergebnis keine Potenzen von $i$ vorkommen.
Beispiel 4: Es soll $(3+2i)^3$ berechnet werden. Zu Beginn wendet man die binomische Formel $(a+b)^3=a^3+3a^2\cdot b+3a\cdot b^2+b^3$ an und vereinfacht: $$3^3 + 3\cdot 3^2 \cdot 2i+3\cdot 3 \cdot (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i+36i ^2 +8i^3$$ Abschließend werden die Potenzen von $i$ ersetzt. Es gilt $i^2 =-1$ und $i^3 =-i$. Somit erhält man folgendes Ergebnis: $$27 + 54i+36i ^2 +8i^3 = 27 + 54i+36 \cdot (-1) +8 \cdot (-i) = 27+54i-36-8i= -9 +46i$$
Aufgabe 5: Lösen Sie die folgende Aufgabe: #1425
Aufgabe 6: Lösen Sie Aufgabe 8 des folgenden Arbeitsblattes und vergleichen Sie mit den Lösungen auf Seite 3: Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen

5. Zusammenfassung

Im folgenden Video werden die Grundrechenarten zusammengefasst und anhand von Beispielen erklärt:
Aufgabe 7: Lösen Sie Aufgabe 10 des folgenden Arbeitsblattes und vergleichen Sie mit den Lösungen auf Seite 3: Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen
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