Rechnen mit komplexen Zahlen (kartesische Koordinaten) | Quadratwurzel komplexer Zahlen

Die Lösungen quadratischer Gleichungen der Form $a\cdot x^2 +b\cdot x +c =0$ können durch die große Lösungsformel berechnet werden: $$x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Falls die Diskriminante $b^2-4ac$ (also der Term unter der Wurzel) negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen. Stattdessen gibt es in diesem Fall zwei komplexe Lösungen, welche zueinander konjugiert sind.

Es sollen alle Lösungen der Gleichung $3x^2 - 24x + 75=0$ bestimmt werden. Durch Einsetzen in die große Lösungsformel erhält man $$x_{1,2}= \frac{-(-24)\pm \sqrt{24^2-4\cdot 3\cdot 75}}{2\cdot 3}= \frac{24\pm \sqrt{-324}}{6}$$ Der Term $\sqrt{-324}$ entspricht der imaginären Zahl $18i$, wodurch man folgende Lösungen erhält: $$x_1 = \frac{24+18i}{6}=4+3i$$ $$x_2 = \frac{24-18i}{6}=4-3i$$

Löse die Aufgabe 2c, 2h und 3c des folgenden Arbeitsblattes und vergleiche mit den Lösungen auf Seite 2: Arbeitsblatt: Quadratische Gleichungen

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

1. $3\cdot (x+4)^2+10=(x+3)\cdot (x-1)$
2. $5-(3x-2)^2 =2x+ (12-5x)^2$

Lösungen: ausklappen a) $x_{1,2}= -5{,}5 \pm 0{,}5i$ b) $x_{1,2}\approx 1{,}91176 \pm 0{,}74232$ einklappen

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