Komplexe Lösungen quadratischer Gleichungen | Teilmengen der Zahlenebene

Dieser Abschnitt sollte erst behandelt werden, wenn die Lösungsformel für quadratische Gleichungen bekannt ist. Beim Berechnen der Quadratwurzel einer komplexen Zahl $z$ werden folgende Schritte befolgt:

1. Das Ergebnis soll die Form $a + bi$ haben, weshalb man $\sqrt{z}= a + bi$ schreibt.
2. Durch beidseitiges Quadrieren erhält man $z = a^2 + 2abi - b^2$.
3. Daraus entstehen zwei Gleichungen, nämlich $\mathrm{Re}(z) = a^2 -b^2$ und $\mathrm{Im}(z) = 2ab$.
4. Durch Lösen dieses Gleichungssystems können $a$ und $b$ berechnet werden.

Es soll $\sqrt{5+12i}$ berechnet werden. Da das Ergebnis die Form $a+bi$ haben soll, kann man die Gleichung $\sqrt{5 + 12i}= a + bi$ aufstellen, wobei $a$ und $b$ bestimmt werden müssen. Durch beidseitiges Quadrieren erhält man $$5+12i=a^2+2abi-b^2.$$ Für die Realteile gilt die Gleichung $5 = a^2- b^2$ und für die Imaginärteile ergibt sich $12 = 2ab$. Formt man die zweite Gleichung nach $b$ um, so erhält man $b = \frac{12}{2a}=\frac{6}{a}$. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt: $$5=a^2 - \frac{36}{a^2}$$ $$5a^2=a^4 - 36$$ $$0=a^4 -5a^2 - 36$$ Dabei handelt es sich um eine biquadratische Gleichung. Für $a^2$ erhält man die Lösungen $9$ und $-4$. Da $a$ eine reelle Zahl sein muss und das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist, kann nur $a^2 = 9$ gelten. Somit ist $a = \pm 3$ und $b =\frac{6}{a}= \pm 2$. Die Endergebnisse lauten daher $3+2i$ und $-3-2i$.

Löse Aufgabe 9 des folgenden Arbeitsblattes und vergleiche mit den Lösungen auf Seite 3: Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen

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