Imaginäre Einheit

Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) führte die sogenannte imaginäre Einheit $i$ ein, für welche der Zusammenhang $i^2 = -1$ gilt. In weiterer Folge gilt somit $i = \pm \sqrt{-1}$. Es ist jedoch wichtig, hier zu berücksichtigen, dass es für $i$ zwei mögliche Werte gibt. Lässt man diese Tatsache außer Acht, können dadurch falsche Schlussfolgerungen entstehen. In der Elektrotechnik ist es üblich, anstelle von $i$ die Bezeichnung $j$ zu verwenden, da $i$ dort häufig für die Wechselstromstärke verwendet wird. Häufig tauchen Potenzen der imaginären Einheit $i$ auf. Diese sollen jedoch in Ergebnissen von Berechnungen nicht mehr vorkommen. Nachfolgend wird beschrieben, wie man diese Potenzen umwandelt:

• $i^0 = 1$ (gilt für jede Basis ungleich 0)
• $i^1 = i$ (gilt für jede Basis)
• $i^2 = -1$ (Definition der imaginären Einheit)
• $i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i= -i$
• $i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)\cdot (-1)=1$

Da $i^4$ den Wert 1 besitzt und somit eine Multiplikation mit $i^4$ bzw. eine Division durch $i^4$ nichts am Wert eines Terms ändert, kann man beliebig oft im Exponent 4 addieren bzw. subtrahieren. Diese Tatsache wird verwendet, um Potenzen von $i$ zu vereinfachen.

Beispiel 1

Es sollen die folgenden Terme vereinfacht werden, sodass diese keine Potenz enthalten:

1. $i^{15} = i^{15-12}= i^3 = -i $
2. $i^{77} = i^{77-76} = i^1 = i$
3. $i^{48} = i^{48-48} =i^0 = 1$
4. $i^{-11} = i^{-11+12} = i $
5. $i^{-17}=i^{-17+20}= i^3 =-i$
6. $i^{-42}=i^{-42+44}=i^2 = -1$
7. $\frac{1}{i} = i^{-1} = i^{-1+4} = i^3 = -i$
8. $\frac{1}{i^{39}}= i^{-39} = i^{-39+40}=i^1 = i$

Aufgabe 1

Löse die folgenden Aufgaben: 10@komplexe-zahlen, 11@komplexe-zahlen

Aufgabe 2

Löse Aufgabe 1 des folgenden Arbeitsblattes und vergleiche deine Ergebnisse mit den Lösungen auf Seite 3:

Komplexe Zahlen data/arbeitsblaetter/komplexe-zahlen.pdf

Eine Zahl, die ein Vielfaches der imaginären Einheit $i$ darstellt, bezeichnet man als imaginäre Zahl. Beispiele dafür wären $5i$ oder $-3i$.

Deine Nachricht ist zu lang. Sie darf maximal 1000 Zeichen enthalten.

Spamschutz: Bitte gib den Code 6454 rückwärts in das folgende Textfeld ein.

Klicken Sie auf den untenstehenden Button, um Ihre Nachricht abzusenden.

Wie hilfreich war dieses Kapitel für dich?