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Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) führte die sogenannte imaginäre Einheit $i$ ein, für welche der Zusammenhang $i^2 = -1$ gilt. In weiterer Folge gilt somit $i = \pm \sqrt{-1}$. Es ist jedoch wichtig, hier zu berücksichtigen, dass es für $i$ zwei mögliche Werte gibt. Lässt man diese Tatsache außer Acht, können dadurch falsche Schlussfolgerungen entstehen. In der Elektrotechnik ist es üblich, anstelle von $i$ die Bezeichnung $j$ zu verwenden, da $i$ dort häufig für die Wechselstromstärke verwendet wird.

1. Potenzen der imaginären Einheit

Häufig tauchen Potenzen der imaginären Einheit $i$ auf. Diese sollen jedoch in Ergebnissen von Berechnungen nicht mehr vorkommen. Nachfolgend wird beschrieben, wie man diese Potenzen umwandelt:
  • Für $i^0$ erhält man gemäß der Rechenregeln für Potenzen den Wert 1, denn für jede Zahl ungleich 0 ist $z^0=1$.
  • Statt $i^1$ kann $i$ geschrieben werden.
  • Der Ausdruck $i^2$ ist laut Definition $-1$.
  • Für $i^3$ erhält man $-i$, denn man kann gemäß der Rechenregeln für Potenzen die Umformung $i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$ durchführen.
  • Die Potenz $i^4$ ergibt 1, denn es gilt $i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$.
Da $i^4$ den Wert 1 besitzt und somit eine Multiplikation mit $i^4$ bzw. eine Division durch $i^4$ nichts am Wert eines Terms ändert, kann man beliebig oft im Exponent 4 addieren bzw. subtrahieren. Diese Tatsache wird verwendet, um Potenzen von $i$ zu vereinfachen.
Beispiel 1: Es sollen die Terme $i^{15}$, $\frac{1}{i}$ und $i^{11}$ vereinfacht werden.
$$i^{15} = i^{15} : i^{12} = i^3 = -i $$ $$\frac{1}{i} = i^{-1} = i^{-1} \cdot i^4 = i^3 = -i$$ $$i^{-11} = i^{-11} \cdot i^{12} = i $$
Aufgabe 1: Lösen Sie die folgende Aufgabe: #1427
Aufgabe 2: Lösen Sie Aufgabe 1 des folgenden Arbeitsblattes und vergleichen Sie mit den Lösungen auf Seite 3: Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen

2. Imaginäre Zahlen

Eine Zahl, die ein Vielfaches der imaginären Einheit $i$ darstellt, bezeichnet man als imaginäre Zahl. Beispiele dafür wären $5i$ oder $-3i$.
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