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Kurse

1. Halbwertszeit

Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeitspanne sich der Wert einer exponentiell abnehmenden Größe halbiert hat. Man verwendet für die Halbwertszeit häufig die Symbole $\tau$ (der griechische Kleinbuchstabe Tau), $T_{0{,}5}$ oder $T_{1/2}$. Typische Anwendungen sind die Strahlungsintensität beim radioaktiven Zerfall oder die Konzentration einer Substanz (Medikament, Droge, ...) im Körper. Ist die Funktionsgleichung in der Form $N(t) = N_0 \cdot a^t$ gegeben, dann lautet die Formel für die Halbwertszeit folgendermaßen: $$\tau =\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(a)}$$
Herleitung: Definitionsgemäß beträgt der Funktionswert nach der Halbwertszeit nur noch die Hälfe des Anfangswertes, also $0{,}5\cdot N_0$. Es muss also die Gleichung $0{,}5\cdot N_0=N_0 \cdot a^ \tau$ nach $\tau$ umgeformt werden. Der Faktor $N_0$ kann gekürzt werden. Durch beidseitiges Anwenden des natürlichen Logarithmus erhält man $\ln(0{,}5) = \tau\cdot \ln(a)$. Daraus folgt schließlich die obige Formel.
Ist die Funktionsgleichung in der Form $N(t) =N_0 \cdot e^{\lambda \cdot t}$ gegeben, dann erhält man folgende Formel für die Halbwertszeit: $$\tau =\frac{\ln(0{,}5)}{\lambda}$$
Herleitung: Diese Formel ergibt sich, indem man analog zur obigen Herleitung die Gleichung $0{,}5\cdot N_0=N_0 \cdot e^{\lambda \cdot \tau}$ nach $\tau$ umformt.
Es ist jedoch nicht sinnvoll, diese Formeln auswendig zu lernen. Besser wäre es, sich die dahinter steckende Grundgleichung $0{,}5\cdot N_0=N(t)$ zu merken und für das Lösen von Aufgaben zu verwenden.
Beispiel 1: Von einem bestimmten Medikament werden im Körper pro Stunde 17,5 % abgebaut. Es soll die biologische Halbwertszeit dieses Medikaments berechnet werden.
Die Funktionsgleichung des Abbauprozesses lautet $N(t)=N_0 \cdot 0{,}825^t$, denn nach jeweils einer Stunde sinkt die vorhandene Menge auf 82,5 % des aktuellen Wertes (100 % minus 17,5 %). Für die Berechnung der Halbwertszeit muss die folgende Gleichung gelöst werden: $$0{,}5\cdot N_0 = N_0 \cdot 0{,}825^\tau$$ $$\ln(0{,}5) = \tau\cdot \ln(0{,}825)$$ $$\tau = \frac{\ln(0{,}5)}{ \ln(0{,}825) } \approx 3{,}603 \,\mathrm{h}$$
Aufgabe 1: Lösen Sie die folgende Aufgabe: #931, #1034

2. Verdoppelungszeit

Bei Wachstumsprozessen verwendet man analog dazu den Begriff der Verdoppelungszeit.
Beispiel 2: Eine Bakterienkultur wächst pro Stunde um 37 %. Es soll die Verdoppelungszeit berechnet werden.
Die Funktionsgleichung lautet $N(t)=N_0 \cdot 1{,}37^t$. Für die Berechnung der Verdoppelungszeit muss die folgende Gleichung gelöst werden: $$2 \cdot N_0 = N_0 \cdot 1{,}37^t$$ $$\ln(2) = t \cdot \ln(1{,}37)$$ $$t= \frac{\ln(2)}{ \ln(1{,}37) } \approx 2{,}202 \,\mathrm{h}$$

3. Weitere verwandte Begriffe

Neben der Halbwertszeit sind auch die Begriffe Zehntelwertszeit, Halbwertsdicke und Zehntelwertsdicke etabliert. Die Halbwertsdicke beschreibt beispielsweise, wie dick eine Platte eines bestimmten Materials sein muss, um die Intensität einer bestimmten Strahlung zu halbieren.
Aufgabe 2: Lösen Sie die folgende Aufgabe: #597
bool(false)