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Konfidenzintervall für μ (σ bekannt) | keine weitere Lektion vorhanden
Ist zusätzlich zum Erwartungswert $\mu$ der Grundgesamtheit auch deren Standardabweichung $\sigma$ unbekannt, so muss man bei der Ermittlung des Konfidenzintervalls für $\mu$ auf die sogenannte $t$-Verteilung (auch als Student-Verteilung bekannt) zurückgreifen. Der einzige Parameter dieser Verteilung ist die Anzahl der Freiheitsgrade, welche mittels $f=n-1$ ermittelt wird (sie ist also immer um 1 kleiner als der Stichprobenumfang). Die Ermittlung des Konfidenzintervalls für $\mu$ erfolgt nun folgendermaßen:
  1. Es wird mit einem geeigneten Computerprogramm für eine $t$-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden die Grenze $t$ berechnet, sodass $P(t\leq X)=\frac{\alpha}{2}$ gilt (bzw. $P(t\leq X)=\alpha$ für einseitige Konfidenzintervalle).
  2. Es werden mit Hilfe des Terms $\bar x \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ die Grenzen des Konfidenzintervalls berechnet. Dieser Term gilt für ein zweiseitiges Intervall (für einseitige Intervalle wird nur eine Grenze berechnet).
  3. Es wird das Konfidenzintervall in Intervallschreibweise angegeben.
Beispiel 1: Von einer Stichprobe bestehend aus 20 Schülern eines Jahrgangs wurde die Körpergröße gemessen. Der Stichprobenmittelwert beträgt $\bar x = 148,3\,\mathrm{cm}$ und die Stichprobenstandardabweichung beträgt $s = 3{,}2\,\mathrm{cm}$. Es soll das zweiseitige Konfidenzintervall des Erwartungswerts für 95 % Vertrauensniveau berechnet werden.
Zunächst wird mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner von GeoGebra der Faktor $t$ ermittelt. Die $t$-Verteilung wird in diesem Programm „Student“ genannt. Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt $f=20-1=19$.

Man erhält also $t\approx 2{,}09302$ und kann damit die beiden Grenzen folgendermaßen berechnen: $$x_1= 148{,}3- 2{,}09302\cdot \frac{3{,}2}{\sqrt{20}}\approx 146{,}80\,\mathrm{cm} \hspace{3cm}x_2= 148{,}3+ 2{,}09302\cdot \frac{3{,}2}{\sqrt{20}}\approx 149{,}80\,\mathrm{cm}$$ Der Erwartungswert der Grundgesamtheit liegt daher mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % im zweiseitigen Konfidenzintervall $[146{,}80;~ 149{,}80]$.
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