Eine Maschine wird von zwei voneinander unabhängigen Systemen kontrolliert. System A meldet im Störfall eine Störung mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %. System B meldet im Störfall eine Störung mit einer Wahrscheinlichkeit von 92.1 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Störung mindestens ein System Alarm schlägt?

Eine Analyse hat ergeben, dass 1.8 % aller Fahrgäste keinen gültigen Fahrschein besitzen. Es soll berechnet werden, wie viele Fahrgäste mindestens kontrolliert werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % zumindest einen „Schwarzfahrer“ zu erwischen. a) Erstelle eine Gleichung, mit der diese Anzahl berechnet werden kann. b) Berechne die Mindestanzahl.

Aus dem nachfolgend abgebildeten Baumdiagramm sind die Werte $p_1=51\,\%$, $p_2=34\,\%$ und $p_{4,6}=18\,\%$ bekannt. Berechne mit dieser Information die Wahrscheinlichkeiten $p_3$, $p_4$, $p_5$ und $p_6$.

Aus dem nachfolgend abgebildeten Baumdiagramm sind die Werte $p_A=26\,\%$, $p_B=16\,\%$ und $p_C=33\,\%$ bekannt. Berechne mit dieser Information die sechs Einzelwahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms.

Ein Anbieter von Online-Diensten verkauft Jahresabos. Eine Analyse des Kundenverhaltens ergab folgende Erkenntnisse:   ▪  57 % aller Abonnenten nutzen den Online-Dienst auch noch drei Monate nach dem Kauf. Nachfolgend werden diese Kunden als Langzeitnutzer bezeichnet.  ▪  76.7 % der Langzeitnutzer verlängern ihr Abo nach einem Jahr.  ▪  Insgesamt verlängern 55.3 % aller Kunden ihr Abo nach einem Jahr. Schreibe die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auf die sechs Linien des folgenden Baumdiagramms.

Für diese Aufgabe sind folgende Fachbegriffe relevant:   ▪  Prävalenz: Anteil der Bevölkerung, der an einer bestimmten Krankheit erkrankt ist  ▪  Sensitivität: Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein medizinischer Test eine erkrankte Person als krank erkennt  ▪  Spezifität: Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein medizinischer Test eine gesunde Person als gesund erkennt Die Sensitivität eines neu entwickelten Tests beträgt 97.3 % während seine Spezifität bei 99.1 % liegt. Laut Schätzungen beträgt die Prävalenz dieser Krankheit 0.69 %. a) Beschrifte das folgende Baumdiagramm vollständig. $K$ bedeutet, dass eine Person erkrankt ist und $\neg K$ ist das zugehörige Gegenereignis. $T+$ steht für ein positivies Testergebnis und $T-$ für ein negatives Testergebnis.

b) Frau Roth erhält ein positives Testergebnis. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie tatsächlich an dieser Krankheit erkrankt ist?

Herr Gruber installiert an seinem Wohnhaus eine Alarmanlage. Laut Hersteller wird bei 96.9 % aller Einbrüche ein Alarm ausgelöst. Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag ein falscher Alarm ausgelöst wird (z. B. durch ein Tier oder durch den Wind) beträgt 0.21 %. Allgemein beträgt die tägliche Einbruchswahrscheinlichkeit für ein Wohnhaus in Herrn Grubers Wohngebiet 0.044 %. a) Erstelle ein passendes Baumdiagramm, welches alle Informationen des obigen Textes enthält. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag ein Alarm ausgelöst wird? c) Herr Gruber sieht auf seinem Smartphone, dass ein Alarm ausgelöst wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um einen Einbruch?

a) Wie viele mögliche Ziehungsergebnisse gibt es beim Lotto 5 aus 40? b) Jemand gibt für eine Ziehung 100 verschiedene Lottoscheine ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von einem dieser Scheine alle Zahlen gezogen werden?