Eine Maschine wird von zwei voneinander unabhängigen Systemen kontrolliert. System A meldet im Störfall eine Störung mit einer Wahrscheinlichkeit von 82 %. System B meldet im Störfall eine Störung mit einer Wahrscheinlichkeit von 92.4 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Störung mindestens ein System Alarm schlägt?

Eine Analyse hat ergeben, dass 1.4 % aller Fahrgäste keinen gültigen Fahrschein besitzen. Es soll berechnet werden, wie viele Fahrgäste mindestens kontrolliert werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85 % zumindest einen „Schwarzfahrer“ zu erwischen. a) Erstelle eine Gleichung, mit der diese Anzahl berechnet werden kann. b) Berechne die Mindestanzahl.

Aus dem nachfolgend abgebildeten Baumdiagramm sind die Werte $p_1=46\,\%$, $p_2=43\,\%$ und $p_{4,6}=23\,\%$ bekannt. Berechne mit dieser Information die Wahrscheinlichkeiten $p_3$, $p_4$, $p_5$ und $p_6$.

Aus dem nachfolgend abgebildeten Baumdiagramm sind die Werte $p_A=26\,\%$, $p_B=21\,\%$ und $p_C=33\,\%$ bekannt. Berechne mit dieser Information die sechs Einzelwahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms.

Ein Anbieter von Online-Diensten verkauft Jahresabos. Eine Analyse des Kundenverhaltens ergab folgende Erkenntnisse:   ▪  56.9 % aller Abonnenten nutzen den Online-Dienst auch noch drei Monate nach dem Kauf. Nachfolgend werden diese Kunden als Langzeitnutzer bezeichnet.  ▪  75.3 % der Langzeitnutzer verlängern ihr Abo nach einem Jahr.  ▪  Insgesamt verlängern 56.8 % aller Kunden ihr Abo nach einem Jahr. Schreibe die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auf die sechs Linien des folgenden Baumdiagramms.

Für diese Aufgabe sind folgende Fachbegriffe relevant:   ▪  Prävalenz: Anteil der Bevölkerung, der an einer bestimmten Krankheit erkrankt ist  ▪  Sensitivität: Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein medizinischer Test eine erkrankte Person als krank erkennt  ▪  Spezifität: Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein medizinischer Test eine gesunde Person als gesund erkennt Die Sensitivität eines neu entwickelten Tests beträgt 97.7 % während seine Spezifität bei 99 % liegt. Laut Schätzungen beträgt die Prävalenz dieser Krankheit 0.57 %. a) Beschrifte das folgende Baumdiagramm vollständig. $K$ bedeutet, dass eine Person erkrankt ist und $\neg K$ ist das zugehörige Gegenereignis. $T+$ steht für ein positivies Testergebnis und $T-$ für ein negatives Testergebnis.

b) Frau Gruber erhält ein positives Testergebnis. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie tatsächlich an dieser Krankheit erkrankt ist?

In der ersten Klasse einer HTL erhalten 23.1 % aller Schüler ein „Nicht genügend“ in Mathematik und 7.6 % der Schüler erhalten in Deutsch ein „Nicht genügend“. 20 % der Schüler erhalten in Mathematik ein „Nicht genügend“, sind in Deutsch jedoch positiv. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel! b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der in Deutsch kein „Nicht genügend“ hat, in Mathematik ein „Nicht genügend“ bekommt? c) Untersuche anhand dieser Daten, ob sich „Nicht genügend“ in diesen beiden Fächern begünstigen, behindern oder unabhängig sind. Begründe deine Entscheidung anhand konkreter Berechnungen und durch vollständige Sätze.

Es wird der Zusammenhang zwischen dem in der Unterstufe besuchten Schultyp und dem erfolgreichen Abschluss der 1. Klasse einer HTL untersucht. Folgende Daten sind bekannt:   ▪  Insgesamt wurden 151 Schüler untersucht.  ▪  76 Schüler stammen aus einem Gymnasium.  ▪  35 Schüler schafften die 1. Klasse der HTL nicht.  ▪  12 Schüler stammen aus einem Gymnasium und schafften die 1. Klasse der HTL nicht. a) Vervollständige die Vierfeldertafel, indem du die Wahrscheinlichkeiten in die einzelnen Felder schreibst. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler, welcher zuvor die Mittelschule besucht hat, die 1. Klasse der HTL schafft? c) Ein bestimmter Schüler schafft die 1. Klasse der HTL nicht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt dieser Schüler aus einer Mittelschule? d) Überprüfe, ob die Ereignisse „kommt aus Gymnasium“ und „schafft 1. Klasse“ stochastisch unabhängig sind. Beschreibe das Ergebnis in einem vollständigen Satz!

Um die Wirksamkeit eines neuen Medikaments zu testen, werden insgesamt 3000 erkrankte Menschen untersucht. 2000 Menschen erhielten das zu testende Medikament. Davon wurden 1544 Menschen gesund. Die anderen 1000 Personen erhielten ein Placebo. Von dieser Gruppe wurden 176 Menschen gesund. a) Erstelle eine vollständig mit relativen Häufigkeiten ausgefüllte und beschriftete Vierfeldertafel. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der das echte Medikament erhält, gesund wird? c) Herr Karner gehört zu den 3000 Testpersonen. Er wurde gesund. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er das echte Medikament erhielt?

Es waren zu einem bestimmten Zeitpunkt 0.79 % der Gesamtbevölkerung mit dem Coronavirus infiziert. Bei einem bestimmten Testverfahren erhielten zu diesem Zeitpunkt 1.75 % aller getesteten Personen ein positives Testergebnis. 0,1 % aller getesteten Personen sind infiziert und erhalten ein negatives Testergebnis. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Schulklasse mit 15 Personen mindestens eine Person ein positives Testergebnis erhält, wenn die gesamte Klasse getestet wird. b) Fülle die nachfolgende Vierfeldertafel vollständig aus! c) Eine Person erhält ein positives Testergebnis. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person tatsächlich mit dem Coronavirus infiziert ist. d) Berechne die sogenannte „Falsch-positiv-Rate“, welche folgendermaßen definiert ist: $P( \mathrm{\,positiver~Test\,} \mid \mathrm{\,nicht~infiziert\,} )$

Herr Gruber installiert an seinem Wohnhaus eine Alarmanlage. Laut Hersteller wird bei 96.5 % aller Einbrüche ein Alarm ausgelöst. Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag ein falscher Alarm ausgelöst wird (z. B. durch ein Tier oder durch den Wind) beträgt 0.25 %. Allgemein beträgt die tägliche Einbruchswahrscheinlichkeit für ein Wohnhaus in Herrn Grubers Wohngebiet 0.04 %. a) Erstelle ein passendes Baumdiagramm, welches alle Informationen des obigen Textes enthält. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag ein Alarm ausgelöst wird? c) Herr Gruber sieht auf seinem Smartphone, dass ein Alarm ausgelöst wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um einen Einbruch?

a) Wie viele mögliche Ziehungsergebnisse gibt es beim Lotto 5 aus 40? b) Jemand gibt für eine Ziehung 100 verschiedene Lottoscheine ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von einem dieser Scheine alle Zahlen gezogen werden?