Gemäß der Definition des Logarithmus ist $log_b(a)$ die Lösung der Gleichung $b^x = a$. Daraus ergeben sich folgende allgemeine Eigenschaften:

• $log_b(b)=1$, weil $b^1=b$
  Weil gemäß der Potenzrechenregeln $b^1=b$ gilt, erhält man unabhängig von der Basis $b$ die Eigenschaft $\log_b(b)=1$.
  Beispiele: $\log_3(3)=1,~\lg(10)=1,~\ln(e)=1$
• $log_b(1)=0$, weil $b^0=1$
  Weil aufgrund der Rechenregeln für Potenzen die Potenz $b^0$ immer den Wert 1 hat, gilt unabhängig von der Basis $b$ die Eigenschaft $\log_b(1)=0$.
• $log_b\left( \frac{1}{b} \right)=-1$, weil $b^{-1}=\frac{1}{b}$
  Weil aufgrund der Rechenregeln für Potenzen $b^{-1}=\tfrac{1}{b}$ gilt, erhält man unabhängig von der Basis $b$ die Eigenschaft $\log_b(\tfrac{1}{b})=-1$.

Aufgabe 1

Bestimme die folgenden Logarithmen ohne Taschenrechner mit Hilfe der obigen Eigenschaften:

1. $\log_3(1)$
2. $\lg(10)$
3. $\lg(0{,}1)$

Lösungen: a) 0 b) 1 c) -1

Außerdem heben sich Potenz und Logarithmus auf, wenn die Basis gleich ist. Es gelten daher die folgenden beiden Eigenschaften:

• $\log_b(b^x)=x$
• $b^{\log_b(x)}=x$

Des Weiteren existiert der Logarithmus $\log_b(a)$ nur, wenn $a$ und $b$ positive reelle Zahlen sind (für negative Zahlen und für 0 ist er nicht definiert).

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