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Gemäß der Definition des Logarithmus ist $log_b(a)$ die Lösung der Gleichung $b^x = a$. Daraus ergeben sich folgende allgemeine Eigenschaften:
  • $log_b(b)=1$, weil $b^1=b$
  • $log_b(1)=0$, weil $b^0=1$
  • $log_b\left( \frac{1}{b} \right)=-1$, weil $b^{-1}=\frac{1}{b}$
Aufgabe 1: Bestimmen Sie die folgenden Logarithmen mit Hilfe der obigen Eigenschaften (ohne Taschenrechner):
  1. $\log_3(1)$
  2. $\lg(10)$
  3. $\lg(0{,}1)$
Lösungen: a) 0 b) 1 c) -1
Außerdem heben sich Potenz und Logarithmus auf, wenn die Basis gleich ist. Es gelten daher die folgenden beiden Eigenschaften:
  • $\log_b(b^x)=x$
  • $b^{\log_b(x)}=x$
Des Weiteren kann ein Logarithmus nur für positive Zahlen berechnet werden. Für negative Zahlen und 0 ist er nicht definiert.