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Bei einer Logarithmusgleichung steht die gesuchte Variable im Numerus eines Logarithmus (also innerhalb der Klammer). Auch hier gibt es verschiedene Lösungsverfahren, welche nachfolgend erläutert werden.
Da Logarithmen nur für positive Zahlen definiert sind, muss nach dem Lösen der Gleichung sichergestellt werden, dass die Lösung auch ein Element der Definitionsmenge ist. Falls Zweifel daran bestehen, kann dies überprüft werden, indem man die Lösung in jeden vorkommenden Numerus einsetzt und prüft, ob der resultierende Wert positiv ist.

1. Potenzieren

Wie in einer früheren Lektion beschrieben, heben sich Potenz und Logarithmus gegenseitig auf. Beispielsweise gilt $10^{\lg(x)}=x$. Ist es möglich, durch Umformen der Gleichung zu erreichen, dass auf einer Seite ein einzelner Logarithmus und auf der anderen Seite eine einzelne Zahl stehen, so kann die Gleichung durch beidseitiges Potenzieren gelöst werden.
Beispiel 1: Es soll die Gleichung $2 \cdot \log_3(9x) = 10$ gelöst werden.
Zunächst wird so umgeformt, dass der Logarithmus alleine steht. Man erhält $\log_3(9x) = 5$. Anschließend wird der Logarithmus durch Potenzieren aufgelöst. Da es sich um den Logarithmus zur Basis 3 handelt, muss diese Basis auch für das Potenzieren verwendet werden: $$3^{\log_3(9x)} = 3^5$$ $$9x = 243$$ $$x = 27$$
Beispiel 2: Es soll die Gleichung $\lg(2x^2)-\lg(7x) = 2$ gelöst werden.
Auf den ersten Blick scheint es so, als wäre es hier nicht möglich, die Gleichung so umzuformen, dass auf einer Seite ein einzelner Logarithmus und auf der anderen Seite eine einzelne Zahl steht. Verwendet man jedoch die Logarithmusregel $\log\left( \frac{x}{y} \right) = \log(x)-\log(y)$, so kann man die Gleichung in folgende Form bringen (und anschließend innerhalb des Logarithmus kürzen): $$ \lg\left( \frac{2x^2}{7x} \right) = 2 $$ $$ \lg\left( \frac{2x}{7} \right) = 2 $$ Durch beidseitiges Bilden der Potenz mit Basis 10, erhält man $\frac{2x}{7}=10^2=100$. Formt man diese Gleichung schließlich nach $x$ um, so resultiert $x=\frac{100\cdot 7}{2}=350$.
Im folgenden Video werden zwei passende Beispiele vorgerechnet und erklärt:
Aufgabe 1: Lösen Sie von Aufgabe 7 des folgenden Arbeitsblattes die Gleichungen a, b, d, e, g, i, j und vergleichen Sie mit den Lösungen auf der letzten Seite: Arbeitsblatt: Logarithmus

2. Numerivergleich

Dieses Verfahren ist zielführend, wenn man die Gleichung so umformen kann, dass auf jeder Seite der Gleichung nur noch ein einzelner Logarithmus mit der gleichen Basis steht. Ist dies erreicht, so werden die Numeri gleichgesetzt und die entstehende Gleichung gelöst (analog zum Exponentenvergleich bei Exponentialgleichungen).
Beispiel 3: Es soll die Gleichung $2\cdot \log_5(x) = \log_5(x + 6)$ gelöst werden.
Für die Anwendung des Numerivergleichs stört noch der Faktor 2 auf der linken Seite. Gemäß der Rechenregeln für Logarithmen kann der Faktor als Exponent in den Logarithmus geschrieben werden. Man erhält dadurch $\log_5(x^2) = \log_5(x + 6)$. Durch den Numerivergleich resultiert die quadratische Gleichung $x^2 = x + 6$, deren Lösungen $x_1 = 3$ und $x_2 = −2$ sind.
Die Zahl $-2$ ist jedoch keine Lösung der ursprünglichen Gleichung, da $\log_5(-2)$ auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung nicht definiert ist. Die einzige Lösung der ursprünglichen Gleichung ist daher 3.
Aufgabe 2: Lösen Sie von Aufgabe 7 des folgenden Arbeitsblattes die Gleichungen h, k, l und vergleichen Sie mit den Lösungen auf der letzten Seite: Arbeitsblatt: Logarithmus

3. Substitution

Sollten mehrere Potenzen desselben Logarithmus vorkommen, so kann man (ähnlich wie bei einer Exponentialgleichung) den Logarithmus durch eine Variable ersetzen. Es entsteht eine neue Gleichung, welche nun gelöst wird. Anschließend werden durch Rücksubstitution die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt.
Beispiel 4: Es soll die Gleichung $\left( \log_3(x) \right)^2 + 3 = 4 \cdot \log_3(x)$ gelöst werden.
Durch die Substitution $y=\log_3(x)$ erhält man als neue Gleichung $y^2 + 3 = 4y$. Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind $y_1=1$ und $y_2=3$. Durch Rücksubstitution erhält man folgende Lösungen der ursprünglichen Gleichung: $$\log_3(x) = 1 ~\Rightarrow~ x = 3^1 = 3\hspace{3cm} \log_3(x) = 3 ~\Rightarrow~ x = 3^3 = 27$$
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