Exponentialgleichungen | Logarithmusgleichungen

Steht in einer Formel die gesuchte Variable im Exponenten, so kann die Formel mit Hilfe des Logarithmus nach der gesuchten Variable umgeformt werden. Man geht hier im Wesentlichen gleich vor, wie beim Lösen von Exponentialgleichungen.

Nachfolgend ist die Formel für den Endwert einer nachschüssigen Jahresrente angegeben: $$E_{\mathrm{nach}}=R\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$$ Diese Formel soll nach der Variable $n$, also der Anzahl der Jahre, umgeformt werden. Dazu wird zunächst so umgeformt, dass die Potenz $q^n$, welche die gesuchte Variable enthält, alleine steht. $$\frac{E_{\mathrm{nach}}}{R}= \frac{q^n-1}{q-1}$$ $$\frac{E_{\mathrm{nach}}}{R} \cdot (q-1)= q^n-1$$ $$\frac{E_{\mathrm{nach}}}{R} \cdot (q-1) +1= q^n$$ Als nächstes wird auf beiden Seiten ein beliebiger Logarithmus angewendet: $$\ln\left( \frac{E_{\mathrm{nach}}}{R} \cdot (q-1) +1 \right)= n\cdot \ln(q)$$ Zuletzt wird durch $\ln(q)$ dividiert und man erhält die gesuchte Formel: $$n = \frac{ \ln\left( \frac{E_{\mathrm{nach}}}{R} \cdot (q-1) +1 \right) }{\ln(q)}$$

Es soll die Formel $x+y=\sqrt[n]{a+b}$ nach der Variable $n$ umgeformt werden. Für diese Aufgabe muss man wissen, dass jede Wurzel auch als Potenz geschrieben werden kann. Man kann die gegebene Formel in folgende Form bringen: $$x+y=(a+b)^\frac{1}{n}$$ Nun wird auf beiden Seiten ein beliebiger Logarithmus angewendet und anschließend nach $n$ umgeformt: $$\lg(x+y)=\frac{1}{n} \cdot \lg(a+b)$$ $$n\cdot \lg(x+y)=\lg(a+b)$$ $$n=\frac{\lg(a+b)}{\lg(x+y)}$$

Löse von Aufgabe 4 des folgenden Arbeitsblattes die Übungen a, c, i und vergleiche mit den Lösungen auf der letzten Seite: Arbeitsblatt: Formeln umformen

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