Allgemein schreibt man $x=\log_b(a)$ und spricht dazu „$x$ ist der Logarithmus von $a$ zur Basis $b$“. Man nennt $b$ Basis und $a$ Numerus (der Plural ist Numeri). Mit dem Logarithmus $\log_b(a)$ wird berechnet, welcher Exponent verwendet werden muss, um aus der Basis $b$ die Zahl $a$ zu erhalten. Es wird also die Lösung der Gleichung $b^x=a$ berechnet. Hochwertigere Taschenrechner haben normalerweise eine Logarithmus-Taste, bei welcher die Basis selbst eingegeben werden kann. Somit kann man jeden beliebigen Logarithmus direkt berechnen.Bei vielen Taschenrechnern ist man jedoch auf die Tasten ln und lg bzw. log beschränkt (eine Erklärung dazu befindet sich in den folgenden Lektionen). Um trotzdem den Logarithmus $\log_b(a)$ berechnen zu können, verwendet man folgende Formel: $$\log_b(a) =\frac{\lg(a)}{\lg(b)} =\frac{\ln(a)}{\ln(b)}$$ Beispielsweise kann $\log_5(20)$ durch $\frac{\ln(20)}{\ln(5)}$ berechnet werden und man erhält ca. 1,86135. Eine Herleitung für diese Formel ist in diesem Kapitel zu finden. Logarithmen sollten übrigens – wie am obigen Ergebnis erkennbar – immer besonders genau gerundet werden, um weiterfolgende Berechnungen nicht zu verfälschen. Es sind vier bis fünf Nachkommastellen empfehlenswert.

Das Ergebnis eines Logarithmus sollte auf mindestens 4 Nachkommastellen gerundet werden.

Aufgabe 1

Berechne die folgenden Logarithmen mit dem Taschenrechner:

1. $\log_3(10)$
2. $\log_{20}(5)$
3. $\log_{0{,}5}(4)$

Lösungen: a) 2,09590 b) 0,53724 c) -2

Aufgabe 2

Bestimme jeweils die unbekannte Hochzahl:

1. $2^x=50$
2. $10^x=3000$
3. $5^x=0{,}32$

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