Funktionsgleichung erstellen | Lineare Funktion vs. Exponentialfunktion

Aufgrund der zahlreichen realen Anwendungen von Exponentialfunktionen gibt es zu diesem Thema auch eine Vielzahl von Textaufgaben. Diese Textaufgaben unterscheiden sich zwar in ihrem Kontext (Bakterien, Medikamente, Einwohnerzahl, Zinseszinsen, ...), haben jedoch zumeist sehr ähnliche Aufgabenstellungen, deren Lösungsansätze in dieser Lektion beschrieben werden. Das Ziel dieser Aufgabenstellung ist es, mit den vorgegebenen Informationen eine Funktionsgleichung $f(x)=c\cdot a^x$ zu erstellen. Konkret sollen die Parameter $c$ und $a$ bestimmt werden. Häufig sind diese Parameter bereits mehr oder weniger gut erkennbar in der Aufgabenstellung enthalten. Manchmal müssen sie jedoch tatsächlich berechnet werden. In diesem Fall verwendet man die in der nachfolgend verlinkten Lektion beschriebenen Methoden: Lektion: Funktionsgleichung erstellen. Manchmal wird danach gefragt, um wie viel Prozent sich der Funktionswert pro Einheit verändert. Eine typische Fragestellung wäre: „Um wie viel Prozent wächst die Bevölkerung pro Jahr?“ Kennt man bereits die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=c\cdot a^x$, so ist diese Frage sehr schnell beantwortet. Man muss lediglich den Änderungsfaktor $a$ richtig interpretieren. Grundsätzlich sollte die Berechnung problemlos im Kopf durchgeführt werden. Man kann jedoch auch auf folgende Formel zurückgreifen: $$(a-1)\cdot 100\,\%$$

Die Einwohnerzahl einer Stadt entwickelt sich gemäß der Funktionsgleichung $E(t)=27350\cdot 1{,}0137^t$, wobei $t$ in Jahren gemessen wird. Aus dem Änderungsfaktor 1,0137 kann man ablesen, dass pro Zeiteinheit (also pro Jahr) die Einwohnerzahl um 1,37 % wächst, denn der Änderungsfaktor liegt um 0,0137 (also um 1,37 %) über dem Grundwert 1 (also 100 %). Zum selben Ergebnis würde man kommen, indem man in die obige Formel einsetzt: $(1{,}0137-1)\cdot 100\,\% = +1{,}37\,\%$

Die Lichtintensität sinkt im Wasser gemäß der Funktionsgleichung $I(x)=I_0 \cdot 0{,}898^x$, wobei $x$ in Metern gemessen wird. Aus dem Änderungsfaktor 0,898 kann man ablesen, dass die Intensität pro Einheit (also pro Meter) um 10,2 % sinkt, denn der Änderungsfaktor liegt um 0,102 (also um 10,2 %) unter dem Grundwert 1 (also 100 %). Zum selben Ergebnis würde man kommen, indem man in die obige Formel einsetzt: $(0{,}898-1)\cdot 100\,\% = -10{,}2\,\%$

Für diesen Aufgabentyp setzt man lediglich den vorgegebenen Wert in den Funktionsterm ein.

Die Einwohnerzahl einer Stadt entwickelt sich gemäß der Funktionsgleichung $E(t)=651\,000\cdot 1{,}0124^t$, wobei $t$ in Jahren gemessen wird und $t=0$ für den 1. Jänner 2010 steht. Es soll berechnet werden, wie viele Menschen am 1. Jänner 2030 in dieser Stadt leben werden. Zwischen dem 1. Jänner 2010 und dem 1. Jänner 2030 liegen exakt 20 Jahre. Daher wird der Wert $t=20$ in den Funktionsterm eingesetzt. Man erhält $E(20)=651\,000\cdot 1{,}0124^{20}\approx 832\,959$. Somit leben am 1. Jänner 2030 voraussichtlich ca. 833 000 Menschen in dieser Stadt.

Möchte man berechnen, wann die Funktion einen bestimmten Wert erreicht, so wird der Funktionsterm mit diesem Wert gleichgesetzt und nach der unabhängigen Variable umgeformt.

Die Einwohnerzahl einer Stadt entwickelt sich gemäß der Funktionsgleichung $E(t)=651\,000\cdot 1{,}0124^t$, wobei $t$ in Jahren gemessen wird und $t=0$ für den 1. Jänner 2010 steht. Es soll berechnet werden, in welchem Jahr erstmals 1 000 000 Menschen in dieser Stadt leben werden. Anstelle von $E(t)$ wird die Zahl 1 000 000 eingesetzt. Anschließend muss die entstehende Gleichung nach $t$ umgeformt werden. $$1\,000\,000=651\,000\cdot 1{,}0124^t$$ $$\frac{1\,000\,000}{651\,000} = 1{,}0124^t$$ $$\ln \left(\frac{1\,000\,000}{651\,000} \right) = t\cdot \ln(1{,}0124)$$ $$t = \frac{\ln \left(\frac{1\,000\,000}{651\,000} \right)}{\ln(1{,}0124)} \approx 34{,}83$$ Addiert man das Ergebnis zum Jahr 2010, so erhält man 2044,83. Somit werden im Jahr 2044 erstmal 1 Mio. Menschen in dieser Stadt leben. ACHTUNG: Es wird hier trotz der Ziffer 8 an der ersten Nachkommastelle nicht aufgerundet, denn das Jahr 2044 ist noch nicht abgeschlossen und somit findet das Ereignis noch im Kalenderjahr 2044 statt. Die Nachkommastellen haben für diese Fragestellung keine Bedeutung.

Hier geht man im Prinzip gleich vor, wie im letzten Abschnitt. Jedoch muss man den Funktionsterm hier mit dem entsprechenden Anteil des Anfangswerts gleichsetzen.

Die Lichtintensität sinkt im Wasser gemäß der Funktionsgleichung $I(x)=I_0 \cdot 0{,}898^x$, wobei $x$ in Metern gemessen wird. Es soll berechnet werden, in welcher Tiefe die Intensität auf 10 % des Anfangswerts $I_0$ gesunken ist. Der Term $0{,}1\cdot I_0$ entspricht 10 % des Anfangswertes $I_0$. Somit wird der Funktionsterm mit $0{,}1\cdot I_0$ gleichgesetzt und die entstehende Gleichung nach $x$ umgeformt. $$0{,}1\cdot I_0 =I_0 \cdot 0{,}898^x$$ $$0{,}1=0{,}898^x$$ $$\lg(0{,}1) = x\cdot \lg(0{,}898)$$ $$x = \frac{\lg(0{,}1)}{\lg(0{,}898)} \approx 21{,}40$$ In ca. 21,4 m Tiefe beträgt die Intensität des Lichts nur noch 10 % ihres Anfangswertes.

Um diese Aufgabenstellung zu lösen, wird der Schnittpunkt der beiden Funktionen berechnet. Man muss also die Gleichung $f_1(x)=f_2(x)$ lösen.

Die Einwohnerzahlen zweier Städte entwickeln sich gemäß der Funktionsgleichungen $E_1(t)=21700\cdot 1{,}0172^t$ und $E_2(t)=28300\cdot 1{,}0083^t$, wobei $t$ in Jahren gemessen wird. Es soll berechnet werden, in wie vielen Jahren beide Städte gleich viele Einwohner haben werden. Setzt man die beiden Funktionsterme gleich, so erhält man die folgende Gleichung, welche nach $t$ umgeformt werden muss: $$21700\cdot 1{,}0172^t = 28300\cdot 1{,}0083^t $$ $$\ln(21700) + t\cdot \ln(1{,}0172) = \ln(28300) + t\cdot \ln(1{,}0083)$$ $$ t\cdot \ln(1{,}0172) - t\cdot \ln(1{,}0083) = \ln(28300) - \ln(21700) $$ $$ t\cdot \left( \ln(1{,}0172) - \ln(1{,}0083) \right) = \ln(28300) - \ln(21700) $$ $$t = \frac{ \ln(28300) - \ln(21700)}{\ln(1{,}0172) - \ln(1{,}0083)} \approx 30{,}22$$ Die beiden Städte werden somit in etwas mehr als 30 Jahren gleich viele Einwohner haben.

In den nachfolgenden Videos werden einige Textaufgaben vorgerechnet und erklärt.

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