Funktionsgleichung erstellen

Häufig soll zuerst die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion bestimmt werden, um damit abschließend weitere Berechnungen durchzuführen. Je nachdem, welche Informationen bekannt sind, kann die Funktionsgleichung auf verschiedene Arten bestimmt werden. Falls zwei Punkte des Funktionsgraphen bekannt sind, werden die Koordinaten der Wertepaare in die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = c \cdot a^x$ eingesetzt. Durch Lösen des entstehenden Gleichungssystems werden die Parameter $a$ und $c$ berechnet. Es handelt sich dabei um kein lineares Gleichungssystem.

Beispiel 1

Es soll die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion durch die Punkte $A(-3\mid 2)$ und $B(5 \mid 8)$ bestimmt werden.

1. Es werden die Koordinaten beider Punkte in die Grundgleichung $y=c\cdot a^x$ eingesetzt, wodurch ein Gleichungssystem mit den Gleichungen $2=c\cdot a^{-3}$ und $8 =c\cdot a^5$ entsteht.
2. Es wird eine der beiden Gleichungen nach $c$ umgeformt: $2=c\cdot a^{-3} ~ \Rightarrow ~ c= \frac{2}{a^{-3}} = 2\cdot a^3$.
3. Das Resultat wird anstelle von $c$ in die andere Gleichung eingesetzt: $8 = 2\cdot a^3 \cdot a^5 = 2\cdot a^8$.
4. Durch Lösen der Gleichung wird $a$ ermittelt: $a= \sqrt[8] {\frac{8}{2}} = \sqrt[8] {4} \approx 1{,}1892$.
5. Abschließend wird in die Formel für $c$ (aus Punkt 2) eingesetzt: $c=2\cdot a^3 \approx 2 \cdot 1{,}1892^3 \approx 3{,}3635$.
6. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)\approx 3{,}3635\cdot 1{,}1892^x$.

Beispiel 2

Nach 7 Stunden betrug die Konzentration eines Medikaments im Blut 12 μg/L. Nach 10 Stunden waren es nur noch 5 μg/L. Es soll die zugehörige exponentielle Abnahmefunktion bestimmt werden. Durch Einsetzen der Wertepaare erhält man das folgende Gleichungssystem: $$12=c\cdot a^7$$ $$5=c\cdot a^{10}$$ Formt man die erste Gleichung nach $c$ um, so erhält man $c = \frac{12}{a^7}$. Durch Einsetzen in die zweite Gleichung kann $a$ berechnet werden: $$5=\frac{12}{a^7}\cdot a^{10}=12a^3$$ $$a=\sqrt[3]{\frac{5}{12}} \approx 0{,}7469 $$ Für $c$ erhält man Folgendes: $$c=\frac{12}{a^7} \approx \frac{12}{0{,}7469^7} \approx 92{,}54$$ Die gesuchte Funktionsgleichung lautet daher $f(t) \approx 92{,}54\cdot 0{,}7469^t$.

Im folgenden Video wird dieser Aufgabentyp anhand von zwei Beispielen erklärt:

Aufgabe 1

Löse die folgende Aufgabe: 17@exponentialfunktionen

Häufig ist der Funktionsgraph einer Exponentialfunktion bekannt und es soll damit eine passende Funktionsgleichung bestimmt werden. Hier sind je nach vorgegebenem Funktionsgraphen zwei Vorgehensweisen möglich:

1. Falls der Ordinatenabschnitt gut ablesbar ist, ist $c$ bereits bekannt. Man benötigt daher nur noch einen weiteren gut ablesbaren Punkt, um $a$ zu berechnen.
2. Ist der Ordinatenabschnitt nicht gut ablesbar, so benötigt man zwei gut ablesbare Punkte, um die Parameter $a$ und $c$ durch ein Gleichungssystem zu bestimmen. Dazu sollten Punkte verwendet werden, die möglichst weit voneinander entfernt sind (damit sich Ungenauigkeiten beim Ablesen nicht so stark auf das Ergebnis auswirken).

Beide Vorgehensweisen werden anschließend jeweils anhand eines Beispiels vorgestellt.

Beispiel 3

Es soll die Funktionsgleichung zum folgenden Graphen bestimmt werden:

1. Man liest den Ordinatenabschnitt $c=5$ ab.
2. Man sucht einen Punkt des Funktionsgraphen, der möglichst exakt auf einem Gitterpunkt des Koordinatensystems liegt. Hier eignet sich der Punkt $(15\mid 60)$.
3. Man setzt den Ordinatenabschnitt und die Koordinaten des ausgewählten Punktes in die Grundgleichung $y=c\cdot a ^x$ ein und erhält $60 = 5\cdot a^{15}$.
4. Durch Lösen der Gleichung erhält man den Änderungsfaktor $a$. Das Ergebnis lautet $a= \sqrt[15]{\frac{60}{5}} = \sqrt[15]{12} \approx 1{,}1802$.
5. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)\approx 5 \cdot 1{,}1802^x$.

Beispiel 4

Es soll die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion bestimmt werden, welche zum nachfolgenden Funktionsgraph passt. Man wählt dazu zwei möglichst exakt ablesbare Punkte deren Abstand so groß wie möglich ist. Gut geeignet sind die Punkte $(1\mid 30)$ und $(8\mid 50)$. Anhand dieser Punkte ermittelt man die Funktionsgleichung (wie im vorherigen Kapitel beschrieben). Das Ergebnis lautet $f(x)\approx 27{,}89 \cdot 1{,}0757^x$.

Aufgabe 2

Löse die folgenden Aufgaben: #552, #122

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