Halbwertszeit und Verdoppelungszeit | Beschränkte Funktionen

Atome bestehen aus Elektronen, Neutronen und Protonen, wobei sich Neutronen und Protonen im Atomkern befinden. Durch die Anzahl der Protonen (die sogenannte Ordnungszahl) ist festgelegt, um welches chemische Element es sich handelt. Beispielsweise handelt es sich bei Atomen mit 6 Protonen um Kohlenstoffatome. Die meisten chemischen Elemente gibt es jedoch mit verschiedenen Neutronenzahlen. Beispielsweise existieren Kohlenstoffatome mit 6, 7 und 8 Neutronen. Diese Variationen werden Isotope genannt. Für das Kohlenstoffisotop mit 6 Protonen und 6 Neutronen verwendet man das Symbol $^{12}\mathrm{C}$ bzw. C-12, wobei die Zahl 12 für die Summe an Protonen und Neutronen (die sogenannte Massenzahl) steht. Manche Isotope sind instabil. Das bedeutet, dass ihr Kern nach einer gewissen Zeit zerfällt und neue Atome daraus entstehen. Man bezeichnet solche Stoffe als radioaktiv. Die durchschnittliche Dauer bis zum Zerfall hängt vom jeweiligen Isotop ab. Beispielsweise dauert es beim Kohlenstoffisotop C-14 durchschnittlich deutlich länger als beim Radonisotop Rn-222. Wann jedoch ein einzelner Atomkern zerfällt, kann nicht vorhergesagt werden. Dies kann in wenigen Sekunden geschehen oder auch mehrere Jahre dauern. Da üblicherweise jedoch große Mengen an Atomen betrachtet werden, können statistische Aussagen getroffen werden. Man kann dies vergleichen mit dem gleichzeitigen Werfen von sehr vielen Münzen. Dabei kann man nicht vorhersagen, welches Ergebnis eine bestimmte Münze zeigen wird. Man kann jedoch vorhersagen, dass etwa die Hälfte aller Münzen „Kopf“ zeigen wird. Die nachfolgende Datei enthält eine GeoGebra-Simultation des radioaktiven Zerfalls.

Der Zerfall des radioaktiven Caesium-Isotops $^{137}\mathrm{Cs}$ kann durch die Funktion $N(t) = N_0\cdot e^{-0{,}02297 \cdot t}$ beschrieben werden, wobei $t$ die Zeit in Jahren ist. Es soll die Halbwertszeit dieses Isotops berechnet werden. $$0{,}5 \cdot N_0 = N_0 \cdot e^{-0{,}02297 \cdot t}$$ $$\ln (0{,}5) = -0{,}02297 \cdot t$$ $$ t= \frac{\ln (0{,}5)}{-0{,}02297} \approx 30{,}18 \,\mathrm{Jahre}$$

Von einem radioaktiven Stoff sind nach 17 Stunden noch 85 % der Anfangsmenge vorhanden. Es soll die Zerfallsgleichung bestimmt werden und anschließend berechnet werden, nach welcher Zeit nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden ist. Für die Bestimmung der Zerfallsgleichung wird folgender Ansatz verwendet: $$0{,}85\cdot N_0 = N_0 \cdot a^{17}$$ Man erhält $a=\sqrt[17]{0{,}85} \approx 0{,}990486$. Die Zerfallsgleichung lautet daher $N(t) = N_0 \cdot 0{,}990486^t$. Möchte man ermitteln, nach welcher Zeit nur noch 1 % der Anfangsmenge $N_0$ vorhanden ist, so muss folgende Gleichung gelöst werden: $$0{,}01\cdot N_0 = N_0 \cdot 0{,}990486^t$$ $$\ln(0{,}01) = t\cdot \ln(0{,}990486)$$ $$t = \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}990486)} \approx 481{,}74 \, \mathrm{h} \approx 20{,}07 \, \mathrm{d}$$

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