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Gelegentlich möchte man anstelle der allgemeinen Form $f(x) = c\cdot a^x$ der Funktionsgleichung eine Gleichung verwenden, die statt der Basis $a$ eine ganz bestimmte Basis besitzt (in den meisten Fällen die Eulersche Zahl $e$). Damit der Funktionsterm trotzdem äquivalent zu $c\cdot a^x$ ist, muss als Ausgleich im Exponent ein Parameter hinzugefügt werden. Man erhält für die Basis $e$ folgende Funktionsgleichung: $$f(x)=c\cdot e^{k\cdot x}$$ Die Umrechnung zwischen $a$ und $k$ erfolgt anhand der folgenden Formeln: $$k =\ln(a) \hspace{8mm} a=e^k $$
Herleitung: Für die Herleitung der linken Formel werden die beiden Funktionsterme gleichgesetzt: $$c\cdot a^x = c\cdot e^{k\cdot x}$$ Der Parameter $c$ fällt weg und durch Verwendung des natürlichen Logarithmus erhält man folgendes Resultat: $$x\cdot \ln(a)= k\cdot x \cdot \ln(e)$$ Die Variable $x$ kann gekürzt werden und $\ln(e)=1$ und fällt somit ebenfalls weg. Übrig bleibt $k=\ln(a)$. Die rechte Formel ergibt sich durch Umkehren des Logarithmus (beidseitiges Potenzieren mit Basis $e$).
Beispiel 1:
  1. Die Funktionsgleichung $N(t)=45\cdot 0{,}952^t$ soll in die Form $N(t)=N_0 \cdot e^{k\cdot t}$ umgerechnet werden. Es ist $N_0 =45$ und anhand der Formel ergibt sich $k = \ln(0{,} 952)\approx -0{,}04919 $. Die Funktionsgleichung lautet daher $N(t)=45 \cdot e^{-0{,}04919\cdot t}$.
  2. Die Funktionsgleichung $f(x)=3{,}2 \cdot e^{0{,}125 \cdot x}$ soll in die Form $f(x)=c \cdot a^x$ umgerechnet werden. Es ist $c =3{,}2$ und $a = e^{0{,}125} \approx 1{,}1331 $. Die Funktionsgleichung lautet daher $f(x)=3{,}2 \cdot 1{,}1331^x$.
  3. Die Funktionsgleichung $E(t)=20 \cdot 1{,}085^t$ soll in die Form $E(t)=E_0 \cdot 2^{k\cdot t}$ umgerechnet werden. Es ist $E_0 =20$. Für die Bestimmung von $k$ muss die Gleichung $1{,}085^t = 2^{k\cdot t} $ gelöst werden. Durch beidseitiges Anwenden eines Logarithmus erhält man Folgendes: $$t\cdot \lg(1{,}085) = k\cdot t \cdot \lg(2) \hspace{5mm}\Rightarrow \hspace{5mm} k =\frac{\lg(1{,}085) }{\lg(2)} \approx 0{,}1177 $$ Die Funktionsgleichung lautet daher $E(t)=20 \cdot 2^{0{,}1177 \cdot t}$.
Aufgabe 1: Lösen Sie die folgende Aufgabe: #3
bool(false)