Basiswechsel

Gelegentlich möchte man anstelle der allgemeinen Form $f(x) = c\cdot a^x$ der Funktionsgleichung eine Gleichung verwenden, die statt der Basis $a$ eine ganz bestimmte Basis besitzt (in den meisten Fällen die Eulersche Zahl $e$). Damit der Funktionsterm trotzdem äquivalent zu $c\cdot a^x$ ist, muss als Ausgleich im Exponent ein Parameter hinzugefügt werden. Man erhält für die Basis $e$ folgende Funktionsgleichung: $$f(x)=c\cdot e^{\lambda \cdot x}$$

• Falls $\lambda > 0$ gilt, ist die Funktion steigend. Beispiel: $f(x)=0{,}3 \cdot e^{0{,}8 \cdot x}$
• Falls $\lambda < 0$ gilt, ist die Funktion fallend. Beispiel: $f(x)=5 \cdot e^{-1{,}2 \cdot x}$

Die Umrechnung zwischen $a$ und $\lambda$ erfolgt anhand der folgenden Formeln: $$\lambda =\ln(a) \hspace{8mm} a=e^\lambda $$

Herleitung

Für die Herleitung der linken Formel werden die beiden Funktionsterme gleichgesetzt: $$c\cdot a^x = c\cdot e^{\lambda\cdot x}$$ Der Parameter $c$ fällt durch eine Division weg und durch Verwendung des natürlichen Logarithmus erhält man folgendes Resultat: $$x\cdot \ln(a)= \lambda\cdot x \cdot \ln(e)$$ Die Variable $x$ kann gekürzt werden und $\ln(e)=1$ und fällt somit ebenfalls weg. Übrig bleibt $\lambda=\ln(a)$. Die rechte Formel ergibt sich durch Umkehren des Logarithmus (beidseitiges Potenzieren mit Basis $e$).

Beispiel 1

1. Die Funktionsgleichung $N(t)=45\cdot 0{,}952^t$ soll in die Form $N(t)=N_0 \cdot e^{\lambda\cdot t}$ umgerechnet werden.
   Es ist $N_0 =45$ und anhand der Formel ergibt sich $\lambda = \ln(0{,} 952)\approx -0{,}04919 $. Die Funktionsgleichung lautet daher $N(t)=45 \cdot e^{-0{,}04919\cdot t}$.
2. Die Funktionsgleichung $f(x)=3{,}2 \cdot e^{0{,}125 \cdot x}$ soll in die Form $f(x)=c \cdot a^x$ umgerechnet werden.
   Es ist $c =3{,}2$ und $a = e^{0{,}125} \approx 1{,}1331 $. Die Funktionsgleichung lautet daher $f(x)=3{,}2 \cdot 1{,}1331^x$.
3. Die Funktionsgleichung $E(t)=20 \cdot 1{,}085^t$ soll in die Form $E(t)=E_0 \cdot 2^{\lambda\cdot t}$ umgerechnet werden.
   Es ist $E_0 =20$. Für die Bestimmung von $\lambda$ muss die Gleichung $1{,}085^t = 2^{\lambda\cdot t} $ gelöst werden. Durch beidseitiges Anwenden eines Logarithmus erhält man Folgendes: $$t\cdot \lg(1{,}085) = \lambda\cdot t \cdot \lg(2) \hspace{5mm}\Rightarrow \hspace{5mm} \lambda =\frac{\lg(1{,}085) }{\lg(2)} \approx 0{,}1177 $$ Die Funktionsgleichung lautet daher $E(t)=20 \cdot 2^{0{,}1177 \cdot t}$.

Aufgabe 1

Löse die folgende Aufgabe: #3

Aufgabe 2

Löse die folgenden Aufgaben: 6@exponentialfunktionen, 7@exponentialfunktionen

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