Aufgaben zur Zinsrechnung
Auf dieser Seite befinden sich Aufgaben zur Zinsrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben dieser Internetseite werden in jeder Session – also nach jedem Neustart des Webbrowsers oder nach jedem neuen Login – neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich einzelne Zahlenwerte verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf exakt dieselbe Aufgabe zugreifen, so sollte daher ein Screenshot angefertigt werden.
Inhaltsverzeichnis
1. Grundformel der Zinseszinsen
Es sollen 5000 € zu einem fixen jährlichen Zinssatz angelegt werden. Wie groß müsste dieser Zinssatz sein, damit nach 12 Jahren 7400 € vorhanden sind?
Frau Hahn legt 7003 € drei Jahre lang an und erhält am Ende 7335 € zurück. Berechne den Jahreszinssatz und berücksichtige dabei die Kapitalertragsteuer (KESt) von 25 %.
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Nachfolgend wurde berechnet, bei welchem Zinssatz ein Kapital von 3000 € innerhalb eines Jahres auf 3075 € steigt. Das Ergebnis stimmt, der Rechenweg ist in dieser Form jedoch falsch. Erkläre, warum der Rechenweg fehlerhaft ist und erstelle selbst einen korrekten Rechenweg.
$$\frac{3075}{3000}=1{,}025\cdot 100\,\%=102{,}5\,\%-100\,\%=2{,}5\,\%$$
2. Äquivalenzprinzip
Herr Karner borgt sich 7950 € zu einem Jahreszinssatz von 4.7 % aus. Nach 3 Jahren zahlt er 45 % der ursprünglichen Schuld zurück. Nach weiteren 4 Jahren zahlt er den Rest zurück. Berechne die Höhe der beiden Rückzahlungen!
Jemand möchte ein Grundstück verkaufen und erhält folgende Angebote:
▪
Angebot A: 40 000 € sofort und 62 000 € in 6 Jahren ▪
Angebot B: nach zwei, vier und sechs Jahren jeweils 36 000 €
Als Zinssatz werden 1.5 % p.a. herangezogen.
a) Berechne den Barwert der beiden Angebote!
b) Der Verkäufer möchte nicht so lange warten, bis er das gesamte Geld erhält. Frau Müller würde den gesamten Betrag nach einem Jahr zahlen. Wie viel müsste sie dann zahlen, damit ihr Angebot gleichwertig zum höheren der beiden oben genannten Angebote ist?
Herr Gruber möchte ein Grundstück verkaufen und erhält dafür drei Angebote:
▪
Herr Schmid würde in einem Jahr 43100 € zahlen. ▪
Frau Kern würde sofort und in fünf Jahren jeweils 22900 € zahlen. ▪
Frau Novak würde in vier Jahren 16000 € zahlen und in sechs Jahren 36400 €.
Als Zinssatz werden bei allen drei Angeboten 4.9 % angenommen.
a) Stelle die drei Angebote jeweils auf einer eigenen Zeitachse dar.
b) Berechne den Barwert aller drei Angebote und begründe anschließend, für welches Angebot sich Herr Gruber entscheiden sollte.
Jemand borgt sich heute 5000 € aus und vereinbart folgenden Plan: In einem Jahr werden 1230 € zurückgezahlt, in drei Jahren 2440 € und in fünf Jahren 1650 €. Berechne, welcher Jahreszinssatz hier vorliegt.
3. Nicht-ganzjährige Laufzeit
Am 8. März 2012 wurden 7300 € auf ein Sparbuch gelegt. Das Kapital wurde konstant mit 2.6 % p.a. verzinst und es gab keine weiteren Einzahlungen oder Auszahlungen. Welcher Geldbetrag befand sich am 17. Februar 2020 auf diesem Sparbuch? Gehe davon aus, dass der Tag der Einzahlung, der Tag der Auszahlung und der Tag nach der Einzahlung allesamt Werktage waren. Rechne zuerst mit theoretischer Verzinsung und anschließend nochmal mit gemischter Verzinsung!
Wie lange müssen 4800 € bei einem Zinssatz von 0.99 % p.a. verzinst werden, um einen Endwert von 5400 € zu erzielen? Rechne mit theoretischer Verzinsung.
Jemand investiert heute 5600 € in ein Projekt, welches eine durchschnittliche jährliche Rendite (also einen Jahreszinssatz) von 6.9 % verspricht. Wie lange dauert es, bis die Investition einen Wert von 10.000 € erreicht? Gib das Ergebnis in Jahren, Monaten und Tagen an.
4. Unterjährige Verzinsung
Es ist ein Quartalszinssatz von 0.688 % gegeben.
a) Berechne den nominellen Jahreszinssatz!
b) Berechne den effektiven Jahreszinssatz!
c) Berechne den äquivalenten Semesterzinssatz!
d) Berechne den äquivalenten Monatszinssatz!
Herr Gruber legt 21 000 € bei einem nominellen Jahreszinssatz von 2.6 % für einen Zeitraum von insgesamt 5 Jahren und 3 Monaten an.
a) Berechne den Endwert bei monatlicher Verzinsung.
b) Berechne den Endwert bei stetiger Verzinsung.
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Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Bei Semesterverzinsung mit 2 % ist der Endwert kleiner als bei Jahresverzinsung mit 4 %.
Die stetige Verzinsung liefert gegenüber allen anderen Modellen mit konstantem äquivalenten Zinssatz immer den kleinsten Endwert.
Die stetige Verzinsung liefert gegenüber allen anderen Modellen mit konstantem äquivalenten Zinssatz immer den größten Endwert.5. Durchschnittszinssatz
Herr Müller erhält von der Bank folgendes Angebot: Zunächst wird die Einlage 2 Jahre lang zu einem Zinssatz von 1.7 % verzinst. Anschließend beträgt der Zinssatz 5 Jahre lang 0.5 %. Im letzten Jahr beträgt er 2.2 %. Berechne den Durchschnittszinssatz, also jenen konstanten Zinssatz, welcher zum selben Ergebnis führen würde.
Ein Kapital soll insgesamt drei Jahre lang angelegt werden. Im ersten Jahr beträgt der Zinssatz $z_1=1.82\,\%$. Im zweiten Jahr beträgt er $z_2=3.31\,\%$. Wie groß muss er im dritten Jahr sein, damit der Durchschnittszinssatz $\bar z=3\,\%$ beträgt. Die Formel für den Durchschnittszinssatz lautet:
$$ (1+\bar z)=\sqrt[3]{(1+z_1)\cdot (1+z_2)\cdot (1+z_3)} $$
6. Vermischte Aufgaben
Jemand investierte vor 5 Jahren 8500 €. Bis zum heutigen Zeitpunkt ist dieses Kapital um 700 € gewachsen.
a) Berechne den jährlichen Zinssatz.
b) Wie lange müsste das Kapital noch zu diesem Zinssatz verzinst werden, bis es auf 10000 € angewachsen ist?
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Erstelle eine Formel, mit welcher der nominelle Zinssatz $i_{\mathrm{nom}}$ einer semesterweisen Verzinsung in den zugehörigen effektiven Jahreszinssatz $i_{\mathrm{eff}}$ umgerechnet werden kann.
Jemand nimmt heute einen Kredit in Höhe von 20000 € auf. Als Zinssatz werden 5 % p.a. vereinbart. In 3 Jahren werden 10000 € zurückgezahlt. Die restliche Schuld wird in 7 Jahren beglichen. Berechne die Höhe der zweiten Rückzahlung.
Für ein monatlich verzinstes Kapital wird ein nomineller Zinssatz von 3 % p.a. angegeben. Berechne den zugehörigen effektiven Jahreszinssatz.
#983 |
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Frau Kern möchte 13.000 € über einen Zeitraum von zehn Jahren anlegen. Sie findet dafür zwei geeignete Möglichkeiten:
▪
Modell A: zwei Jahre lang 3.05 % p.a., zwei Jahre lang 4.82 % p.a., sechs Jahre lang 1.97 % p.a. ▪
Modell B: fünf Jahre lang 2.52 % p.a., fünf Jahre lang 3.18 % p.a.
a) Berechne den Endwert beider Anlagemodelle und begründe durch einen vollständigen Satz, für welches Modell sich Frau Kern entscheiden sollte.
b) Welcher konstante Jahreszinssatz (Durchschnittszinssatz) wäre gleichwertig zu Modell A.
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