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Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

Mathematischer Hintergrund

Unter einem linearen Gleichungssystem versteht man eine Ansammlung linearer Gleichungen mit einer gewissen Anzahl von Variablen. Um die Variablen eindeutig bestimmen zu können, benötigt man mindestens eine Gleichung pro Variable. Speziell für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen gibt es verschiedene Lösungsverfahren: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren. Für Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen ist meist eine Kombination mehrerer Lösungstechniken erforderlich. Gleichungssysteme mit zwei Variablen können darüber hinaus auch grafisch gelöst werden, denn jede Gleichung kann als Gerade dargestellt werden. Der Schnittpunkt dieser Geraden entspricht der Lösung des Gleichunggsystems.

Anwendungsgebiete

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen zählt zu den Grundtechniken der Schulmathematik und kommt in verschiedenen Zusammenhängen vor. Ein häufiges innermathematisches Einsatzgebiet ist das Bestimmen von Funktionsparametern.

1. Grafische Lösungsverfahren

Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch!
[1] $3 x+ 6 y= 7$
[2] $2 x- 3 y= 6$

2. Rechnerische Lösungsverfahren

Löse das folgende lineare Gleichungssystem!
[1] $10 x+ 10 y= 4$
[2] $9 x- 4 y= 7$

Löse das folgende lineare Gleichungssystem!
[1] $5 x-15 \cdot (x-6)=5 y$
[2] $(x-5)\cdot (y+ 5)=(x+2)\cdot (y- 4)$

Löse das folgende lineare Gleichungssystem!
[1] $x+5y+z=22$
[2] $2x+y-z=-11$
[3] $x+4y=27$

3. Lösungsfälle

Ergänze die Lücken des folgenden linearen Gleichungssystems so, dass dieses unendlich viele Lösungen besitzt.
[1] $2a+7b=54$
[2]

4. Geometrische Aufgaben

Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 10.5 cm. Die Länge der Basis $c$ entspricht nur einem Drittel der Länge eines Schenkels $a$. Berechne die Länge der Schenkel und der Basis.

Der Umfang eines Rechtecks beträgt 49.7 m. Die längere Seite ist um 2.2 m länger als die kürzere Seite. Berechne die beiden Seitenlängen des Rechtecks.

#815 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Summe der Flächeninhalte zweier Quadrate beträgt 287.2 cm². Die Differenz der Flächeninhalte beträgt 137.3 cm². Berechne die Seitenlängen der beiden Quadrate.

Eine Seitenlänge eines rechteckigen Grundstücks ist um 6 m größer als die andere. Verlängert man beide Seiten um 2.9 m, so wird der Flächeninhalt um 160.2 m² größer. Berechne die ursprünglichen Seitenlängen des Grundstücks!

#851 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Addiert man je zwei Seitenlängen eines Dreiecks, so erhält man die Ergebnisse 21.7 cm, 14.2 cm und 26.7 cm.
a) Erkläre, wie man den Umfang des Dreiecks berechnen kann, ohne zuvor die einzelnen Seitenlängen zu berechnen.
b) Berechne die Seitenlängen des Dreiecks.

Ein Dreieck hat den Umfang 60 cm. Seite $a$ ist um 32 % länger als Seite $b$. Seite $b$ ist um 20 mm länger als Seite $c$. Bestimme die drei Seitenlängen!

#905 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Addiert man jeweils zwei Winkel eines ebenen Dreiecks, so erhält man 115°, 147° und 98°.
a) Berechne die drei Winkel des Dreiecks.
b) Erkläre, warum diese Aufgabe mehr Information enthält, als man für die Lösung tatsächlich benötigt.

Addiert man jeweils zwei Winkel eines ebenen Dreiecks, so erhält man 126.8° und 139.2°. Berechne die drei Winkel des Dreiecks.

5. Bewegungsaufgaben

Ein Motorboot fährt bei gleicher Motorleistung flussaufwärts mit einer Geschwindigkeit von 29.8 km/h und flussabwärts mit 42.6 km/h. Wie groß sind die Eigengeschwindigkeit des Bootes und die Fließgeschwindigkeit des Flusses?

Ein Autofahrer und ein Motorradfahrer wohnen 358 km voneinander entfernt und fahren einander entgegen. Wenn beide um 8:00 Uhr wegfahren, treffen sie sich um 10:45 Uhr. Fährt der Motorradfahrer um 8:00 Uhr weg, aber der Autofahrer erst um 9:30 Uhr, so begegnen sie einander um 11:18 Uhr. Berechne die mittleren Geschwindigkeiten beider Fahrzeuge!

6. Vermischte Aufgaben

Das Einkommen von Herrn Gruber und Frau Kern setzt sich aus demselben Grundgehalt und der Abgeltung der geleisteten Überstunden zusammen. Herr Gruber leistet 20 Überstunden und erhielt letztes Monat insgesammt 2835 Euro. Frau Kern leistete 33 Überstunden und erhielt 3487 Euro. Berechne das Grundgehalt sowie die Abgeltung pro Überstunde.

Es ist das folgende Gleichungssystem gegeben:
[1] $7a+8b+9c=2$
[2] $-8a+b=1$
[3] $5a-2b+c=-4$
Verwende die Cramersche Regel, um die Variable $c$ zu bestimmen.

Es fahren 76 Schüler auf Wintersportwoche. Diese verteilen sich auf insgesamt 21 Zimmer, wobei nur Drei- und Vierbettzimmer zur Verfügung stehen. Wie viele Zimmer gibt es von jeder Sorte, wenn alle Zimmer voll belegt sind?

#230 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Zwei Gläser Cola und drei Gläser Eistee kosten 10.60 €. Fünf Gläser Cola und ein Glas Eistee kosten 13.50 €. Bestimme den Preis der beiden Getränke!

Mischt man 2 Liter kaltes Wasser mit 3 Liter heißem Wasser, so erhält man eine Mischung mit einer Temperatur von 45 °C. Durch Mischen von 4 Liter kaltem und einem Liter heißen Wasser erhält man hingegen Wasser mit einer Temperatur von 23 °C. Welche Temperatur hatten das kalte und das heiße Wasser?

Die Summe zweier Zahlen ist 28. Das Doppelte der ersten Zahl ist gleich dem Dreifachen der zweiten Zahl. Um welche Zahlen handelt es sich?

Valentin kauft einen Gürtel und ein Paar Schuhe um insgesamt 141 €. Die Schuhe kosten um 100 € mehr als der Gürtel. Wie viel kosten die beiden Produkte jeweils?

#238 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Lies dir das folgende Gespräch zweier Hirten durch und berechne, wie viele Schafe jeder Hirte besitzt!
  ▪  Hirte A: „Wenn du mir fünf Schafe aus deiner Herde gibst, dann habe ich genauso viele Schafe wie du.“
  ▪  Hirte B: „Wenn du mir drei von deinen Schafen gibst, dann habe ich doppelt so viele wie du.“

#270 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
In einem Unternehmen arbeiten dreimal so viele Männer wie Frauen bzw. anders ausgedrückt um 42 Männer mehr als Frauen.
a) Kreuze alle zutreffenden Aussagen an, wenn $x$ die Anzahl der Männer und $y$ die Anzahl der Frauen beschreibt.
$x-y=42$
$y-x=42$
$x=3y$
$y=3x$
b) Berechne, wie viele Männer und wie viele Frauen in diesem Unternehmen arbeiten.

Bei einem Test mit 10 Fragen kann man maximal 38 Punkte erhalten. Der Test besteht aus 3-Punkt-Fragen und aus 5-Punkt-Fragen. Wie viele Fragen gibt es von jeder Sorte?

Eine vierköpfige Familie verbrauchte im März 18 m³ Wasser und zahlte dafür 33.6 €. Im Juli verbrauchte sie 23.4 m³ Wasser und zahlte 43.2 €. Die Monatskosten setzen sich jeweils aus monatlicher Grundgebühr und den Kosten pro Kubikmeter Wasser zusammen. Berechne die Grundgebühr und die Kosten pro Kubikmeter.

Markus und Isabella bekommen das gleiche monatliche Grundeinkommen. Markus leistete 6 Überstunden und bekam insgesamt 2603 €. Isabella leistete 16 Überstunden und bekam insgesamt 3066 €. Wie groß ist das Grundeinkommen der beiden und wie viel bekommen sie pro Überstunde?

#811 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Ein betrügerischer Online-Händler verkauft pro Monat 295 billige Fälschungen eines Notebook-Netzteils als vermeintliche Originalware. Gibt es keine Beschwerden des Käufers (da er es nicht bemerkt oder er sich die damit verbundenen Umstände ersparen möchte), so macht der Händler pro Netzteil einen Gewinn von 7,50 €. Bei einer Beschwerde beträgt der durchschnittliche Verlust hingegen 5,30 €. Nach einem Monat beträgt der Gesamtgewinn 1841,30 €. Wie viele der 295 Käufer beschwerten sich?

#819 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Im Mittelalter war es üblich, Tauschhandel zu betreiben. Nachfolgend sind drei Angebote ersichtlich:
  ▪  Für zwei Rinder und fünf Schafe erhält man 13 Schweine und 1000 Goldstücke.
  ▪  Für drei Rinder und drei Schweine erhält man neun Schafe.
  ▪  Für sechs Schafe, acht Schweine und 600 Goldstücke erhält man fünf Rinder.
a) Erstelle ein lineares Gleichungssystem, welches dazu geeignet ist, zu berechnen, wie viele Goldstücke jedes der drei Tiere wert ist. Gib an, wofür die verwendeten Variablen stehen.
b) Berechne den Wert der drei Tiere:

Bei der sogenannten Dreieck-Stern-Transformation wird eine dreieckförmige Anordnung von Widerständen in eine gleichwertige sternförmige Anordnung umgewandelt.

Dafür gelten die folgenden Zusammenhänge: $$r_1+r_2=\frac{R_3\cdot (R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_3}\hspace{1cm}r_2+r_3=\frac{R_1\cdot (R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3}\hspace{1cm}r_1+r_3=\frac{R_2\cdot (R_1+R_3)}{R_1+R_2+R_3}$$ Berechne die Widerstände $r_1,r_2,r_3$ der sternförmigen Schaltung, wenn die Widerstände der Dreiecksschaltung folgende sind: $R_1=25\,\Omega$, $R_2=38\,\Omega$, $R_3=57\,\Omega$.

Gegeben ist die unten abgebildete elektrische Schaltung, wobei $U=33\,\mathrm{V}$, $R_1=2.1\,\Omega$, $R_2=3.8\,\Omega$ und $R_3=6.3\,\Omega$ bekannt sind.

Anhand der Kirchhoffschen Regeln (Knotenregel und Maschenregel) sowie des Ohmschen Gesetzes können folgende Zusammenhänge festgestellt werden: $$I_1=I_2+I_3\hspace{15mm} I_1R_1+I_3R_3=U \hspace{15mm} I_2R_2=I_3R_3$$ Bereche die Ströme $I_1,I_2$ und $I_3$, welche durch die jeweiligen Widerstände fließen.

Löse das folgende lineare Gleichungssystem mit Hilfe der inversen Matrix.
[1] $9 x+ 6 y= 3$
[2] $2 x- 7 y= -5$

#1277 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:
[1] $2x+ 3y= 14$
[2] $6x+ 9y= -5$
a) Berechne die Determinante der zugehörigen Koeffizientenmatrix.
b) Erkläre, wie man anhand dieser Determinante erkennen kann, dass dieses Gleichungssystem keine eindeutige Lösung besitzt.

#1300 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Bei Fußball-Weltmeisterschaften sind in der Gruppenphase jeweils vier Mannschaften pro Gruppe. Es spielt jede Mannschaft einmal gegen jede andere Mannschaft. Dabei erhält man pro Sieg 3 Punkte und pro Unentschieden 1 Punkt. In der nachfolgenden Tabelle ist ersichtlich, welche Mannschaft wie viele Punkte erreichte:
Team PunkteSiegeUnentschiedenNiederlagen
A 7
B 5
C 3
D 1
a) Vervollständige die obige Tabelle, indem du die Anzahl der Siege, Unentschieden und Niederlagen ergänzt.
b) Es würde zwei Möglichkeiten geben, um nach drei Spielen 3 Punkte zu erreichen. Erkläre nachvollziehbar, wie man bei Team C herausfinden kann, welche der beiden Möglichkeiten zutreffend ist.