Wie viele mögliche Ziehungsergebnisse gibt es bei Lotto 8 aus 37?

Ein bestimmter Sicherheitscode besteht aus 5 Großbuchstaben (26 mögliche Zeichen) gefolgt von 7 Ziffern (10 mögliche Zeichen). Alle Zeichen dürfen jeweils nur einmal vorkommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diesen Code zu bilden? Gib das Ergebnis als normierte Gleitkommazahl $a\cdot 10^n$ an!

Für eine natürliche Zahl $n$ ist die Fakultät $n!$ definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$. Beispielsweise ist $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Begründe mathematisch korrekt, warum für jede natürliche Zahl $n\geq 5$ die letzte Ziffer von $n!$ immer $0$ ist.

Eine bestimmte Schulklasse hat pro Woche 30 Schulstunden in 15 verschiedenen Gegenständen (jeweils 2 Stunden pro Gegenstand). Diese 30 Stunden werden so aufgeteilt, dass sich an jedem der fünf Schultage sechs Schulstunden befinden. Freistunden gibt es nicht und auch sonst existieren keine weiteren Vorgaben. Wie viele unterschiedliche Stundenpläne sind unter diesen Voraussetzungen möglich? Gib das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung an!

Eine bestimmte Schulklasse hat zwölf verschiedene Unterrichtsgegenstände. Pro Unterrichtsgegenstand gibt es vier verschiedene Lehrer, die dieses Fach unterrichten könnten. Wie viele verschiedene Lehrerkonstellationen sind für diese Klasse möglich? Gib das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung an!

Im Vergleich zum österreichischen Lottosystem „6 aus 45“ spielt man beim schwedischen Lotto das System „7 aus 35“. Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen schwedischen Lottoschein gültig auszufüllen?

An einer Betriebsfeier nehmen 20 Personen teil. Wie oft klingen die Gläser, wenn jeder mit jedem einmal anstößt?

An einem 100-Meter-Lauf nehmen 8 Läufer teil. Aufgrund der Zielfotoanalyse gibt es kein Unentschieden. a) Berechne, wie viele mögliche Ergebnisse es gibt, wenn alle Läufer das Ziel erreichen. b) Berechne, wie viele mögliche Ergebnisse es gibt, wenn eine beliebige Anzahl an Läufern keine Platzierung erhält (weil sie beispielsweise ausscheiden, aufgeben oder disqualifiziert werden). Gib einen vollständigen möglichst einfachen Term an, mit dem das Ergebnis berechnet werden kann und berechne anschließend das Ergebnis. Erkläre außerdem in eigenen Worten und möglichst nachvollziehbar, welche Bedeutung die einzelnen Komponenten des Terms im gegebenen Sachzusammenhang haben.

Auf einer bestimmten Webseite stehen für die Erstellung eines Passwortes die Zeichen a-z, A-Z und 0-9 zur Verfügung. Das Passwort muss mindestens 4 Zeichen enthalten und darf höchstens 19 Zeichen aufweisen. Wie viele mögliche Passwörter können gebildet werden? Gib das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung $a\cdot 10^n$ an und runde die Mantisse $a$ auf drei Nachkommastellen.

An einem Sportwettbewerb nehmen 15 Teams mit jeweils 4 Personen teil. Drei dieser Teams stehen am Ende am Siegertreppchen, wobei die vier Mitglieder jedes Teams nebeneinander stehen. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, das Podest zu besetzen, wenn es nur darum geht, welche drei Teams am Podest stehen, aber nicht darum, welches Team welchen Platz belegt hat? b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, das Podest zu besetzen, wenn auch die Platzierung der Teams eine Rolle spielt? c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, das Podest zu besetzen, wenn auch die Aufstellung der vier Mitglieder jedes Teams berücksichtigt wird?