Wandle die vorgegebene Funktion jeweils in eine Darstellung mit der vorgegebenen Basis um! a) $f(x)=6.9^x~~~$ in $~~~f(x)=3.1^{\,k\cdot x}$ b) $g(x)=1.655^x~~~$ in $~~~g(x)=e^{\,k\cdot x}$

Bestimme für die beiden abgebildeten Funktionsgraphen eine Funktionsgleichung im Format $f(x)=c\cdot a^x$. Suche dazu möglichst gut ablesbare Punkte des Funktionsgraphen.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 5 \cdot 2^x$. Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. wahr falsch Wird $x$ um 2 vergrößert, so verdoppelt sich der Funktionswert. wahr falsch Wird $x$ um 1 vergrößert, so steigt der Funktionswert um 100 %. wahr falsch Wird die Variable $x$ um 1 vergrößert, so verfünffacht sich der Funktionswert. wahr falsch Der Funktionsgraph schneidet die senkrechte Achse beim Wert 5. wahr falsch Wird $x$ um 2 verkleinert, so sinkt der Funktionswert auf ein Viertel des ursprünglichen Werts. wahr falsch Im Intervall $[2,3]$ ist die Funktion um denselben absoluten Wert angestiegen, wie im Intervall $[3,4]$. wahr falsch Verkleinert man $x$ um 1, so sinkt der Funktionswert um 50 %.

Gib die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion in der Form $f(x)=c\cdot a^x$ an, die dem unten abgebildeten Funktionsgraphen entspricht.

Kreuze an, ob es sich um eine exponentielle Zunahme oder Abnahme handelt. Zunahme Abnahme $f(x)=20\cdot 5^{0.5x}$ Zunahme Abnahme $f(x)=5\cdot e^{-0.3x}$ Zunahme Abnahme $f(x)=0.4\cdot 3^x$ Zunahme Abnahme $f(x)=3\cdot e^{0.1x}$ Zunahme Abnahme $f(x)=7\cdot 0.1^{2x}$

Im folgenden Koordinatensystem sind die Graphen der Exponentialfunktionen $f(x) = c \cdot a^x$ und $g(x) = d \cdot b^x$ eingezeichnet. Kreuze alle Aussagen an, die auf diese beiden Funktionen zutreffen.

$c < d\hspace{5mm}$ $c=d\hspace{5mm}$ $c>d$ $a < b\hspace{5mm}$ $a=b\hspace{5mm}$ $a>b$

Eine Exponentialfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x$ soll durch die Punkte $(\,x_1\mid y_1\,)$ und $(\,x_2\mid y_2\,)$ verlaufen. Erstelle allgemein anwendbare Formeln zur Berechnung von $a$ und $c$. Die Formeln dürfen nur die Koordinaten der Punkte enthalten und sollen möglichst weit vereinfacht sein.

Gegeben ist die Exponentialfunktion $f(x)=2.2\cdot 1.39^x$. Vervollständige den Lückentext!   ▪  Der Funktionsgraph schneidet die Ordinate ($y$-Achse) beim Wert _______________ .  ▪  Wird $x$ um 2 verkleinert, so sinkt der Funktionswert auf _______________ % des ursprünglichen Werts.  ▪  Wird $x$ um $\frac{1}{2}$ vergrößert, so steigt der Funktionswert um _______________ %.  ▪  An der Stelle 3.5 beträgt der Funktionswert _______________ .  ▪  Den Wert 41 erreicht die Funktion an der Stelle _______________ .

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. wahr falsch Die Funktionen $f(x)=a^x$ und $g(x)=a^{-x}$ sind bezüglich der $y$-Achse gespiegelt. wahr falsch Der Graph der Funktion $f(x)=c\cdot a^x$ verläuft durch den Punkt $(\,0 \mid c\,)$. wahr falsch Die Graphen von $f(x) = 5 \cdot 3^x$ und $g(x) = 3 \cdot 2^x$ haben keinen Schnittpunkt. wahr falsch Zwei verschiedene Exponentialfunktionen der Form $f(x)=c\cdot a^x$ haben immer genau einen Schnittpunkt. wahr falsch Eine Exponentialfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x$ hat niemals eine Nullstelle.

Im Jahr 2000 hatte Mexiko 100,35 Mio. Einwohner. Zehn Jahre später waren es 112,32 Mio. Einwohner. a) Wie viele Menschen leben unter der Annahme eines linearen Bevölkerungswachstums voraussichtlich im Jahr 2057 in Mexiko? b) Wie viele Menschen leben unter der Annahme eines exponentiellen Bevölkerungswachstums voraussichtlich im Jahr 2057 in Mexiko?

Gib jeweils an, ob es sich um einen linearen oder um einen exponentiellen Zusammenhang handelt. linear exponentiell Das Taschengeld wird jährlich um 10 Euro erhöht. linear exponentiell Die Bakterienkultur wächst alle 20 Minuten um 10 %. linear exponentiell Das Kapital wird jedes Quartal mit 0,5 % verzinst. linear exponentiell Der Wasserstand sinkt nach jeweils 15 Minuten um 5 cm. linear exponentiell Die Umfragewerte einer Partei stiegen heuer pro Monat um 2 Prozentpunkte.

Gib jeweils an, ob es sich um ein lineares oder um ein exponentielles Bevölkerungswachstum handelt. linear exponentiell Die Bevölkerung wächst jährlich um ca. 50 000 Einwohner. linear exponentiell Die Bevölkerung wächst jährlich um ca. 1,3 %. linear exponentiell Die Bevölkerung verdoppelt sich alle 70 Jahre. linear exponentiell Pro Jahrhundert steigt die Bevölkerung um ca. 1 Mio. Einwohner.

Gib jeweils an, ob es sich um einen linearen oder um einen exponentiellen Zusammenhang handelt. linear exponentiell Der Umsatz eines Unternehmens steigt pro Jahr um 20 %. linear exponentiell Ein menschliches Haar wächst pro Tag um 0,05 mm. linear exponentiell Der Wasserstand der Donau steigt pro Stunde um 2 cm. linear exponentiell Die Anzahl an Bakterien verdreifacht sich alle fünf Stunden.

Nachfolgend sind drei Wertetabellen gegeben. Gib jeweils an, ob es sich hier um eine lineare Abnahme, ein lineares Wachstum, eine exponentielle Abnahme oder ein exponentielles Wachstum handelt und begründe, woran man das erkennen kann.

Nachfolgend sind für vier Länder die Wachstumsfunktionen der Einwohnerzahlen gegeben. Dabei ist $E(t)$ die Einwohnerzahl (gemessen in Millionen Einwohnern) und $t$ die Zeit (gemessen in Jahren ab 2000). Beschreibe jeweils anhand eines vollständigen Satzes, wie sich die Einwohnerzahl gemäß dieser Funktionen jährlich verändert! a) $E(t)=40.1 \cdot 1.0197^t$ b) $E(t)=1.75t+93.21$ c) $E(t)=21.4$ d) $E(t)=20.5\cdot 0.9858^t$

Ein Blatt Papier kann nur ca. sieben Mal in der Mitte gefaltet werden. Je nach Art des Papiers kann es kleine Abweichungen geben. a) Wie oft müsste man ein 0.15 mm dickes Blatt Papier mindestens falten, damit der entstehende „Turm“ höher als 1 m ist? b) Wie dick wäre der „Turm“, wenn das Blatt 41 Mal gefaltet wird? c) Recherchiere im Internet nach einer vergleichbaren Größe aus der Realität, um sich das Ergebnis von Aufgabe b) besser vorstellen zu können.

Von einem bestimmten Medikament werden im Körper pro Stunde 13 % der noch vorhandenen Menge abgebaut. a) Berechne die Halbwertszeit dieses Medikaments. b) Stelle den Abbauvorhang grafisch dar. Gehe davon aus, dass zum Zeitpunkt $t=0$ noch 100 % des Medikaments im Körper waren.

Erstelle für die folgenden Sachverhalte jeweils eine geeignete Funktionsgleichung. Verwende für den Anfangswert die Bezeichnung $f(x)$ und für die unabhängige Variable die Bezeichnung $x$. a) Alle 8 Jahre wächst die Bevölkerung einer Stadt um 3100 Einwohner ($x$ gemessen in Jahren). b) Die Lichtintensität nimmt in einem See pro Meter um 12 % ab ($x$ gemessen in Metern). c) Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 5 Stunden ($x$ gemessen in Stunden).

Es sollen 5000 € zu einem fixen jährlichen Zinssatz angelegt werden. Wie groß müsste dieser Zinssatz sein, damit nach 8 Jahren 6800 € vorhanden sind?

In einem bestimmten See halbiert sich die Intensität des Sonnenlichts unterhalb der Wasseroberfläche nach jeweils 5 m. Welcher Anteil des Sonnenlichts erreicht den Grund des Sees in 30 m Tiefe?