Grundlagen | Scheitelpunktform

Die Polynomform ist aufgrund ihrer kompakten Form (keine Klammern) sehr häufig anzutreffen. Sie hat folgende allgemeine Struktur: $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$. In diesem Abschnitt wird die Bedeutung der drei Parameter $a,b,c$ ausführlich behandelt. Der Parameter $a$, welcher als einziger Parameter in allen drei Darstellungsformen (Polynomform, Scheitelpunktform, Nullstellenform) vorkommt, ist ein Maß für die Krümmung der Parabel. Je nach Vorzeichen von $a$ ist die Parabel entweder nach oben geöffnet (positive Krümmung) oder nach unten geöffnet (negative Krümmung). Außerdem gibt der Betrag von $a$ Auskunft darüber, wie spitz die Parabel ist. Je größer $|a|$ ist, umso größer ist die Krümmung betragsmäßig und umso spitzer ist dementsprechend die Parabel.

• Ist $a>0$, so ist die Parabel nach oben geöffnet (positiv gekrümmt).
• Ist $a<0$, so ist die Parabel nach unten geöffnet (negativ gekrümmt).
• Je größer der Betrag von $a$ ist, umso steiler/spitzer ist die Parabel.
• Je kleiner der Betrag von $a$ ist, umso flacher ist die Parabel.

Man kann den Parameter $a$ direkt aus dem Funktionsgraphen ablesen. Dazu markiert man den Scheitelpunkt und geht von diesem um 1 nach rechts. Von dort geht man nun so weit nach oben bzw. unten, bis der Funktionsgraph erreicht wird. Der vertikale Abstand entspricht dem Parameter $a$. Ging man nach oben, so ist $a$ positiv. Ging man nach unten, so ist $a$ negativ.

Um die oben beschriebene Vorgehensweise zu begründen, müssen die Funktionswerte an der Stelle des Scheitelpunkts und 1 rechts davon berechnet und verglichen werden. Dazu wird die Scheitelpunktform $f(x)=a\cdot (x-x_S)^2+y_S$ verwendet. Setzt man $x_S$, also die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts, ein, so erhält man $f(x_S)=a\cdot (x_S-x_S)^2+y_S=a\cdot 0^2+y_S=y_S$. Setzt man $x_S+1$ ein, so erhält man $f(x_S+1)=a\cdot (x_S+1-x_S)^2+y_S=a\cdot 1^2+y_S=a+y_S$. Man erkennt, dass der vertikale Abstand zwischen diesen Punkten genau $a$ beträgt.

Es soll eine Funktionsgleichung erstellt werden, welche dem nachfolgend abgebildeten Funktionsgraphen entspricht. Der Scheitelpunkt befindet sich bei den Koordinaten $(-1{,}5 \mid 3{,}5)$. Geht man von diesem aus um 1 nach rechts, so muss man 2,5 nach unten gehen, um den Graph zu erreichen. Daher ist der Parameter $a=-2{,}5$. Die vollständige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform lautet somit $f(x)=-2{,}5\cdot (x+1{,}5)^2+3{,}5$.

Löse die folgende Aufgabe: 5@quadratische-funktionen

Der Parameter $b$ entspricht der Steigung, mit welcher die Parabel die $y$-Achse (Ordinate) schneidet.

Für diese Begründung werden Kenntnisse der Differentialrechnung vorausgesetzt (ansonsten überspringen). Bildet man von der Funktionsgleichung $f(x)=ax^2+bx+c$ die Ableitungsfunktion, so erhält man $f'(x)=2ax+b$. Die Ableitungsfunktion $f'$ gibt an, welche Steigung die Funktion $f$ an der Stelle $x$ besitzt. Setzt man $x=0$, so erhält man $f'(0)=2a\cdot 0+b=b$. Daher wird die $y$-Achse mit der Steigung $b$ geschnitten.

In der folgenden Grafik sieht man drei Parabeln. Die blaue Parabel geht bei der y-Achse nach unten (daher ist b hier negativ), die gelbe Parabel geht nach oben (daher ist b hier positiv) und die rote Parabel verläuft bei der y-Achse waagrecht (daher ist b hier 0). WICHTIG: Anhand des Parameters $b$ kann man auch erkennen, ob die Parabel symmetrisch zur $y$-Achse ist. Ist $b=0$, so befindet sich der Scheitelpunkt direkt auf der $y$-Achse und somit ist der Funktionsgraph symmetrisch zur $y$-Achse. Der Ordinatenabschnitt ist jener Funktionswert, bei welchem der Funktionsgraph die vertikale Achse (auch Ordinate genannt; daher die Bezeichnung Ordinatenabschnitt) schneidet. Man spricht daher auch vom $y$-Achsenabschnitt. Häufig handelt es sich bei anwendungsbezogenen Aufgaben um den Startwert (z. B. die Fixkosten oder die Abwurfhöhe). Man kann diesen Wert bestimmen, indem man $f(0)$ berechnet.

Es soll der Ordinatenabschnitt der Funktion $f(x)=-2\cdot (x-3)^2+5$ berechnet werden. Setzt man $x=0$ in die Funktionsgleichung ein, so erhält man $f(0)=-2\cdot (0-3)^2+5=-13$. Somit ist der Ordinatenabschnitt $-13$ was bedeutet, dass die $y$-Achse bei $-13$ geschnitten wird.

Ist der Ordinatenabschnitt 0, so verläuft der Funktionsgraph durch den Ursprung des Koordinatensystems. Man bezeichnet eine derartige quadratische Funktion als homogen.

• Ist $c>0$, so wird die $y$-Achse im positiven Bereich geschnitten.
• Ist $c=0$, so wird die $y$-Achse im Koordinatenursprung geschnitten.
• Ist $c<0$, so wird die $y$-Achse im negativen Bereich geschnitten.

Löse die folgende Aufgabe: 16@quadratische-funktionen

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