Nullstellen berechnen | Scheitelpunkt berechnen

Da alle Darstellungsformen der Funktionsgleichung drei freie Parameter besitzen - Polynomform ($a, b, c$), Scheitelpunktform ($a, x_S, y_S$), Nullstellenform ($a, x_1, x_2$) - benötigt man drei Informationen, um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion zu bestimmen. Folgende Auflistung der häufigsten Fälle soll dabei helfen, je nach Problemstellung die effizienteste Vorgehensweise bei der Bestimmung der Funktionsgleichung zu wählen. Zunächst werden die Koordinaten $x_S$ und $y_S$ in die Grundgleichung der Scheitelpunktform eingesetzt. Außerdem wird der $y$-Wert des zusätzlichen Punktes für $f(x)$ und der $x$-Wert für $x$ eingesetzt. Mit dieser Gleichung kann der fehlende Parameter $a$ berechnet werden.

Eine quadratische Funktion besitzt den Scheitelpunkt $(2\mid 1)$ und der Funktionsgraph verläuft außerdem durch den Punkt $(7\mid 11)$. Es soll anhand dieser Daten die Funktionsgleichung ermittelt werden. Setzt man die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Grundgleichung der Scheitelpunktform ein, so erhält man $f(x)=a\cdot (x-2)^2+1$. Im zweiten Schritt werden die Koordinaten des zusätzlichen Punktes eingesetzt, was zur Gleichung $11=a\cdot (7-2)^2+1$ führt. Die Lösung dieser Gleichung lautet $a=\frac{2}{5}$. Somit sind alle Parameter der Funktionsgleichung bestimmt und die gesuchte Funktionsgleichung ist $f(x)=\frac{2}{5}\cdot (x-2)^2+1$.

Löse die folgende Aufgabe: 10@quadratische-funktionen

Im ersten Schritt werden die beiden Nullstellen $x_1$ und $x_2$ in die Grundgleichung der Nullstellenform eingesetzt. Des Weiteren werden (wie schon im obigen Fall) der $y$-Wert des zusätzlichen Punktes für $f(x)$ und der $x$-Wert für $x$ eingesetzt. Auf diese Weise kann der Parameter $a$ ermittelt werden.

Eine quadratische Funktion besitzt die beiden Nullstellen $x_1=-3$ und $x_2=6$. Außerdem verläuft der Funktionsgraph durch den Punkt $(2\mid 5)$. Es soll anhand dieser Daten die Funktionsgleichung ermittelt werden. Setzt man die beiden Nullstellen in die Grundgleichung der Nullstellenform ein, so erhält man $f(x)=a\cdot (x+3)\cdot (x-6)$. Wird zusätzlich der Punkt $(2\mid 5)$ eingesetzt, so entsteht die Gleichung $5=a\cdot (2+3)\cdot (2-6)$, deren Lösung $a=-\frac{1}{4}$ lautet. Somit ist die Funktionsgleichung $f(x)=-\frac{1}{4}\cdot (x+3)\cdot (x-6)$.

Ist der Ordinatenabschnitt gegeben, so ist bereits der Parameter $c$ der Polynomform bekannt. Setzt man die Koordinaten der beiden Punkte ebenfalls in die Polynomform ein, so entsteht ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten $a$ und $b$, welche auf diese Weise berechnet werden können.

Eine quadratische Funktion besitzt den Ordinatenabschnitt $3$. Außerdem verläuft der Funktionsgraph durch die beiden Punkte $(2\mid 5)$ und $(10\mid 8)$. Es soll anhand dieser Daten die Funktionsgleichung ermittelt werden. Der Ordinatenabschnitt entspricht dem Parameter $c$ der Polynomform. Setzt man ihn in die Grundgleichung der Polynomform ein, so erhält man $f(x)=a \cdot x^2+b \cdot x+3$. Werden als nächstes die Koordinaten der beiden Punkte eingesetzt, so entstehen die folgenden Gleichungen: \begin{align} 5 &= a\cdot 4+b\cdot 2+3\\ 8 &= a\cdot 100+b\cdot 10+3 \end{align} Durch Lösen dieses linearen Gleichungssystems erhält man $a=-\frac{1}{16}$ und $b=\frac{9}{8}$. Somit lautet die gesuchte Funktionsgleichung $f(x)=-\frac{1}{16}\,x^2+\frac{9}{8}\,x+3$.

Die Lösung dieses Falls erfordert den größten Rechenaufwand. Es werden die Koordinaten der drei Punkte in die Grundgleichung der Polynomform eingesetzt. Dadurch entsteht ein lineares Gleichungssystem mit den drei Unbekannten $a$, $b$ und $c$, welche auf diese Weise berechnet werden können.

Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion verläuft durch die drei Punkte $(-3\mid 5)$, $(1\mid 2)$ und $(5\mid 7)$. Es soll anhand dieser Daten die Funktionsgleichung ermittelt werden. Es werden die Koordinaten aller Punkte in die Grundgleichung der Polynomform eingesetzt. Man erhält folgendes lineares Gleichungssystem: \begin{align} 5 &= a\cdot 9-b\cdot 3+c\\ 2 &= a\cdot 1+b\cdot 1+c\\ 7 &= a\cdot 25+b\cdot 5+c \end{align} Zu beachten sind die unterschiedlichen Vorzeichen in der ersten Gleichung, welche auf die negative $x$-Koordinate zurückgehen. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems lautet $a=\frac{1}{4}$, $b=-\frac{1}{4}$ und $c=2$. Die gesuchte Funktionsgleichung ist daher $f(x)=\frac{1}{4}\,x^2-\frac{1}{4}\,x+2$.

Löse die folgende Aufgabe: 9@quadratische-funktionen

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