Funktionsgleichung mittels Punkten bestimmen | Textaufgaben

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt des Funktionsgraphen (siehe nachfolgende Abbildung). Die Koordinaten des Scheitelpunkts werden mit $x_S$ und $y_S$ bezeichnet. Wie man diese Koordinaten berechnet, hängt von der Darstellungsform der vorliegenden Funktionsgleichung ab. Je nach vorgegebener Darstellungsform der Funktionsgleichung bzw. mathematischen Kenntnissen wird der Scheitelpunkt unterschiedlich bestimmt. Ist die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform gegeben, so braucht man die Koordinaten lediglich ablesen. Dabei ist darauf zu achten, dass die $x$-Koordinate in der Scheitelpunktform standardmäßig ein negatives Vorzeichen besitzt.

Es sollen die Koordinaten des Scheitelpunkts anhand der Funktionsgleichung $f(x)=-2\cdot (x-3)^2-5$ bestimmt werden. Die $x$-Koordinate ist $x_S=3$ und die $y$-Koordinate lautet $y_S=-5$.

Löse die folgende Aufgabe: 14@quadratische-funktionen

Kennt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion, so ist es relativ einfach, den Scheitelpunkt zu bestimmen. Da eine Parabel immer symmetrisch ist, befindet sich $x_S$ genau in der Mitte der beiden Nullstellen. Man kann diesen Wert daher anhand des arithmetischen Mittelwerts berechnen: \begin{equation*} x_S=\frac{x_1+x_2}{2} \end{equation*} Um den $y$-Wert des Scheitelpunktes zu erhalten, setzt man $x_S$ in die Funktionsgleichung ein: $y_S=f(x_S)$

Es sollen die Koordinaten des Scheitelpunkts anhand der Funktionsgleichung $f(x)=3\cdot (x+2)\cdot (x-5)$ berechnet werden. Die beiden Nullstellen sind $x_1=-2$ und $x_2=5$. Der arithmetische Mittelwert und somit die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts lautet $x_S=\frac{-2+5}{2}=1{,}5$. Durch Einsetzen dieses Resultats in die Funktionsgleichung erhält man schließlich die $y$-Koordinate: $y_S=f(x_S)=3\cdot (1{,}5+2)\cdot (1{,}5-5)=-36{,}75$. Der Scheitelpunkt lautet daher $(1{,}5\mid -36{,}75)$.

Ist die Polynomform gegeben, so gibt es zwei Methoden, um den Scheitelpunkt zu bestimmen. Einerseits kann man, wie in Kapitel~\ref{NullstellenAusPolynomform} erläutert, zunächst die Nullstellen berechnen, um mit deren Hilfe anschließend den Scheitelpunkt zu bestimmen (siehe Kapitel~\ref{ScheitelpunktAusNullstellenform}). Dies ist jedoch nur möglich, wenn die Funktion überhaupt Nullstellen besitzt. Ansonsten müsste man mit sogenannten komplexen Zahlen arbeiten. Eine andere Möglichkeit ergibt sich durch eine Formel, mit welcher man direkt aus den Parametern $a,b,c$ der Polynomform den $x$-Wert $x_S$ des Scheitelpunkts erhält. Diese Formel lautet: \begin{equation*} x_S=-\frac{b}{2a} \end{equation*}

Die beiden Nullstellen erhält man durch folgende Formeln: \begin{equation} x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} und x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{equation} Die Summe $x_1+x_2$ lautet demnach folgendermaßen: \begin{equation} x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \end{equation} Um den arithmetischen Mittelwert zu erhalten, muss die Summe noch durch 2 dividiert werden. Es ergibt sich letztendlich die oben genannte Formel $x_S=-\frac{b}{2a}$.

Die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts ergibt sich erneut durch Einsetzen der $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung.

Es sollen die Koordinaten des Scheitelpunkts anhand der Funktionsgleichung $f(x)=3x^2- 18x + 29$ berechnet werden.}{Die Diskriminante\, $b^2-4ac$ \,der quadratischen Gleichung $0=3x^2- 18x + 29$ lautet $(-18)^2-4\cdot 3\cdot 29=-24$ und ist somit negativ. Daher besitzt die gegebene quadratische Gleichung keine Nullstellen. Somit kann nicht der Weg über den Mittelwert der Nullstellen gewählt werden. Setzt man die Parameter $a$ und $b$ jedoch in die oben genannte Formel ein, so erhält man $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{-18}{2\cdot 3}=3$. Die $y$-Koordinate erhält man durch Einsetzen in die Funktionsgleichung: $y_S=f(3)=2$. Somit befindet sich der Scheitelpunkt bei $(3\mid 2)$.

Verfügt man bereits über die Methoden der Differentialrechnung (meist etwa 11. bis 12. Schulstufe), so ist die Berechnung des Scheitelpunktes, welcher einem Hochpunkt oder einem Tiefpunkt entspricht, für alle drei Darstellungsformen relativ einfach. Es wird zunächst die Ableitungsfunktion $f'$ berechnet. Löst man anschließend die Gleichung $f'(x)=0$, so erhält man die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts. Durch Einsetzen der $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung (nicht in die Ableitungsfunkion) erhält man schließlich die $y$-Koordinate.

Es sollen die Koordinaten des Scheitelpunkts anhand der Funktionsgleichung $f(x)=5x^2-3x+1$ berechnet werden. Die Ableitungsfunktion lautet $f'(x)=10x-3$. Löst man die Gleichung $f'(x)=0$ bzw. $10x-3=0$, so erhält man die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts mit $x_S=0{,}3$. Daraus ergibt sich $y_S=f(x_S)=0{,}55$.

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