Wahrscheinlichkeiten berechnen

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einer normalverteilten Zufallsvariable in einem bestimmten Intervall liegt, entspricht dem bestimmten Integral der Dichtefunktion mit den vorliegenden Intervallgrenzen (also dem Flächeninhalt zwischen Dichtefunktion und $x$-Achse in diesem Intervall). Je nachdem, ob das vorgegebene Intervall einseitig oder beidseitig begrenzt ist, ergeben sich insgesamt drei Varianten:

• $P(X\geq a)=P(a\leq X) = \int_{a}^{+\infty} f(x)\,dx$
• $P(a \leq X\leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx$
• $P(X\leq b) = \int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx$

Aufgabe 1

Löse die folgende Aufgabe: 13@normalverteilung

Wie oben erwähnt, handelt es sich bei Wahrscheinlichkeiten um bestimmte Integrale der Dichtefunktion. Daraus ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Wertes, also $P(X=a)$, immer 0 beträgt. Es handelt sich dabei nämlich um das Integral $\int_a^a f(x) \,dx$, welches einer Fläche mit Breite 0 und somit auch Flächeninhalt 0 entspricht. Die Konsequenz dieser Tatsache ist, dass es bei Normalverteilungen (und generell bei allen stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen) keinen Unterschied macht, ob man die Intervallgrenzen berücksichtigt oder nicht. Es ist also beispielsweise $P(X\leq 10) = P(X<10)$. Für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels GeoGebra wird das Modul „Wahrscheinlichkeitsrechner“ benötigt, welches man im Menüpunkt „Ansicht“ oder durch die Tastenkombination Strg+Umschalt+P aktivieren kann. Standardmäßig sollte bereits die Normalverteilung ausgewählt sein (erkennbar daran, dass im rot markierten Dropdown-Menü das Wort „Normal“ steht). Andernfalls muss dies durch einen Klick auf das Dropdown-Menü geändert werden. Als nächstes werden im entsprechenden Textfeld die Werte für $\mu$ und $\sigma$ eingegeben. Ein kleiner Tipp: Man kann in diesen Textfeldern auch kleine Rechnungen wie beispielsweise 20/3 oder sqrt(5) eingeben, welche mittels Eingabetaste durchgeführt werden. Nun muss man entscheiden, für welche Art von Intervall die Wahrscheinlichkeit berechnet werden soll. Hierfür stehen vier Symbole zur Auswahl:

• 1. Symbol: $P(X\leq a)$
• 2. Symbol: $P(a\leq X\leq b)$
• 3. Symbol: $1-P(a\leq X\leq b)$ ... hiermit wird berechnet, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable $X$ außerhalb des Intervalls $[a; b]$ liegt
• 4. Symbol: $P(X\geq b)$

Beispiel 1

Die Masse von Zementsäcken ist normalverteilt mit den Parametern $\mu = 25\,\mathrm{kg}$ und $\sigma = 150\,\mathrm{g}$. Es soll berechnet werden, welcher Anteil der Säcke weniger als 24,7 kg enthält. Dazu muss zunächst die Standardabweichung in Kilogramm umgewandelt werden. Anschließend werden beide Parameter eingegeben und die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem 1. Symbol berechnet: Es haben also 2,275 % der Säcke weniger als 24,7 kg.

Aufgabe 2

Löse die folgende Aufgabe: 10@normalverteilung

Aufgabe 3

Löse Aufgabe 7 des folgenden Arbeitsblattes und vergleiche deine Ergebnisse mit den Lösungen.

Normalverteilung data/arbeitsblätter/normalverteilung.pdf

Beispiel 2

Der Durchmesser eines Hochpräzisionsteils hat einen Erwartungswert von 16 mm. Die Standardabweichung beträgt 2 µm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser um mehr als 4 µm vom Erwartungswert abweicht? Im ersten Schritt werden die Einheiten aneinander angepasst: Statt 2 µm wird 0,002 mm verwendet. Nun gibt man beide Parameter in den GeoGebra-Wahrscheinlichkeitsrechner ein und wählt das 3. Symbol. Für die beiden Grenzen verwendet man die Werte 15,996 mm und 16,004 mm. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,55 % ist die Abweichung größer als 4 µm.

Aufgabe 4

Löse die folgende Aufgabe: 11@normalverteilung

An manchen Schulen und Universitäten wird die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten noch ohne Computerprogrammen durchgeführt. Dies erfolgt üblicherweise anhand der Standardnormalverteilung, welche in diesem Kapitel behandelt wird: Standardnormalverteilung

Deine Nachricht ist zu lang. Sie darf maximal 1000 Zeichen enthalten.

Spamschutz: Bitte gib den Code 7560 rückwärts in das folgende Textfeld ein.

Klicken Sie auf den untenstehenden Button, um Ihre Nachricht abzusenden.

Wie hilfreich war dieses Kapitel für dich?