Verwendung

Die Normalverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für stetige Zufallsvariablen. Stetige Zufallsvariablen zeichnen sich dadurch aus, dass sie überabzählbar viele Werte annehmen können (d. h. zwischen zwei beliebigen Werten gibt es immer noch einen weiteren möglichen Wert), was häufig bei physikalischen Größen (Länge, Masse, Zeit, Geschwindigkeit, ...) der Fall ist. Das Gegenstück zu stetigen Zufallsvariablen sind diskrete Zufallsvariablen. Diese können nur eine abzählbare Menge an Werten annehmen (z. B. Geburtsjahr, Anzahl an Geschwistern, erreichte Punkte bei einer Prüfung). Damit die Normalverteilung in Frage kommt, müssen die nachfolgenden zwei Kriterien erfüllt sein:

1. Die Werte sind ungefähr symmetrisch um den Mittelwert verteilt. Das ist beispielsweise beim Körpergewicht von Menschen nicht der Fall. Angenommen der Mittelwert für männliche Erwachsene beträgt 75 kg. Dann sind nach unten nur Abweichungen um bis zu ca. 20 kg realistisch (also ca. 55 kg) während nach oben durchaus auch Abweichungen von über 50 kg realistisch sind (also ca. 125 kg). Somit handelt es sich hier streng genommen um keine Normalverteilung (auch wenn diese für einfache Modelle eventuell trotzdem verwendet wird).
2. Die Zufallsvariable wird von einer großen Anzahl unabhängiger Faktoren beeinflusst, was dazu führt, dass Werte immer unwahrscheinlicher werden, je weiter sie vom Mittelwert entfernt sind.

Typische Beispiele für normalverteilte Zufallsvariablen sind:

• Abfüllmasse bzw. -volumen von Verpackungen (Zementsäcke, Wasserflaschen, Mehlpackungen, ...)
• Länge bzw. Durchmesser von Bauteilen

Aufgabe 1

Begründe, ob die folgenden Zufallsvariablen einer Normalverteilung entsprechen können: a) Masse eines Autos b) Anzahl an Regentagen im Juli Lösungen: ausklappen a) Hierbei handelt es sich um eine Normalverteilung. Die Masse ist eine stetige Zufallsvariable. Das Auto setzt sich aus vielen Bauteilen zusammen, deren Masse jeweils eine gewisse Schwankungsbreite aufweist. Somit ist die Gesamtmasse von vielen kleinen Faktoren abhängig. Außerdem werden die Abweichungen (im Gegensatz zum Körpergewicht) symmetrisch um den Mittelwert verteilt sein.

b) Dies ist keine Normalverteilung, da es sich um keine stetige Zufallsvariable handelt. Abgesehen davon ist die Verteilung auch eher asymmetrisch. Der Mittelwert wird ca. bei 5 Regentagen liegen. Nach unten sind höchstens Abweichungen um den Betrag 5 möglich, während nach oben durchaus auch Abweichungen um den Betrag 10 möglich sind (also 15 Regentage im Juli). einklappen

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