Dichtefunktion

Die Dichtefunktion ist das zentrale Element der Normalverteilung. Der Funktionsgraph sieht folgendermaßen aus: Aufgrund der Gestalt 🔔 wird der Graph auch Glockenkurve bzw. Gaußsche Glockenkurve (nach Carl Friedrich Gauß) genannt. Die Funktionsgleichung der Dichtefunktion lautet folgendermaßen: $$f(x)=\frac{1}{\sigma \, \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2}$$ Glücklicherweise ist diese Funktionsgleichung für Schulaufgaben unwichtig, da Berechnungen zur Normalverteilung meist mit Computerprogrammen durchgeführt werden, welche diese Funktion im Hintergrund automatisch verwenden. Sowohl $\mu$ (Erwartungswert) als auch $\sigma$ (Standardabweichung) können anhand des Graphen der Dichtefunktion bestimmt werden.

• Der Erwartungswert $\mu$ entspricht jener Stelle ($x$-Wert), an der sich der Hochpunkt der Dichtefunktion befindet.
• Die Standardabweichung $\sigma$ entspricht der horizontalen Entfernung zwischen Hochpunkt und einem der beiden Wendepunkte der Dichtefunktion.

Diese Zusammenhänge sind in folgender Grafik veranschaulicht: Während man den Hochpunkt (und somit den Erwartungswert) eindeutig bestimmen kann, ist es erfahrungsgemäß deutlich schwieriger, die Wendepunkte (und somit die Standardabweichung) anhand des Funktionsgraphen eindeutig zu bestimmen. Möchte man dennoch die Standardabweichung möglichst genau ermitteln, so kann man folgende Tatsache verwenden: Der $y$-Wert der beiden Wendepunkte beträgt immer ca. 60,65 % des $y$-Wertes des Hochpunktes. Man kann daher mit einem Lineal den Hochpunkt abmessen und davon 60,65 % berechnen. In dieser Höhe zeichnet man nun eine waagrechte Gerade, deren Schnittpunkte mit dem Funktionsgraphen zugleich dessen Wendepunkte sind.

Aufgabe 1

Löse die folgenden Aufgaben: 3@normalverteilung, 16@normalverteilung

Die Dichtefunktion der Normalverteilung besitzt unter anderem folgende Eigenschaften:

1. $f(x)>0$ für alle $x\in \mathbb{R}$
   Die Dichtefunktion ist überall positiv.
2. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$
   Die Gesamtfläche zwischen Dichtefunktion und $x$-Achse beträgt immer 1 (also 100 %).
3. $f(\mu + x) = f(\mu-x)$
   Die Dichtefunktion ist symmetrisch um den Erwartungswert.
4. $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$
   Für unendlich große/kleine Werte beträgt die Dichtefunktion 0.

Zusatzinfo: Eigenschaft 2 gilt generell für jede Dichtefunktion (auch für jene von anderen stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen) und Eigenschaft 1 gilt in der Form $f(x) \geq 0$ für alle Dichtefunktionen (denn es gibt Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei denen die Dichtefunktion auch den Wert 0 haben kann, was bei der Normalverteilung ausgeschlossen ist).

Aufgabe 2

Löse die folgende Aufgabe: 4@normalverteilung

Wenn sich der Erwartungswert $\mu$ ändert, so bewirkt dies eine horizontale Verschiebung der Dichtefunktion (denn $\mu$ gibt an, bei welchem $x$-Wert sich der Hochpunkt befindet). Wird $\mu$ um beispielsweise 10 vergrößert, so wird der Funktionsgraph um 10 nach rechts verschoben. Wird $\mu$ um beispielsweise 5 verkleinert, so wird der Graph um 5 nach links verschoben. Wichtig ist, dass die Gestalt des Funktionsgraphen unverändert bleibt (speziell der $y$-Wert des Hochpunkts und die „Breite“ des Graphen). Ändert sich die Standardabweichung $\sigma$, so bleibt der Hochpunkt an derselben Stelle, jedoch ändert sich die Gestalt des Funktionsgraphen folgendermaßen:

• Wird $\sigma$ größer, so wird die Dichtefunktion breiter und niedriger.
• Wird $\sigma$ kleiner, so wird die Dichtefunktion schmäler und höher.

Die Änderung der Breite ergibt sich dadurch, dass die Standardabweichung mit dem Abstand der Wendepunkte zusammenhängt. Die Änderung der Höhe kommt dadurch zustande, dass der gesamte Flächeninhalt immer 1 betragen muss. Ändert sich die Breite, so muss die Beibehaltung des Flächeninhalts durch eine Anpassung der Höhe gewährleistet werden. Es gilt hier der folgende Zusammenhang: Der $y$-Wert des Hochpunktes ist indirekt proportional zur Standardabweichung. Ist beispielsweise die Dichtefunktion doppelt so hoch, so bedeutet dies, dass ihre Standardabweichung halb so groß ist (siehe obige Grafik).

Aufgabe 3

Löse die folgende Aufgabe: 4@normalverteilung

Aufgabe 4

Löse Aufgabe 9 des folgenden Arbeitsblattes und vergleiche deine Ergebnisse mit den Lösungen.

Normalverteilung data/arbeitsblätter/normalverteilung.pdf

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