Ziffernsumme | Primzahlen

Eine natürliche Zahl $a$ ist teilbar durch eine natürliche Zahl $b$, wenn die Division $a:b$ den Rest 0 ergibt. Man schreib dafür $b\mid a$, was soviel wie „$b$ teilt $a$“ bedeutet. Grundsätzlich kann man die Teilbarkeit jederzeit mit einem Taschenrechner überprüfen, indem man die Division durchführt. Falls das Ergebnis einer ganzen Zahl entspricht, ist die Teilbarkeit erfüllt. In der Praxis ist es jedoch sinnvoll, einige Teilbarkeitsregeln zu kennen, welche besonders häufig vorkommen bzw. schnell angewendet werden können.

• Jede natürliche Zahl ist durch 1 teilbar.
• 0 ist durch jede natürliche Zahl größer 0 teilbar.
• Gilt $a\mid b$ und $b\mid c$, so gilt auch $a\mid c$. Beispiel: 12 teilt 60 und 60 teilt 480. Daher ist 480 auch teilbar durch 12.

Die folgenden Teilbarkeitsregeln sollte man unbedingt kennen, da sie sehr häufig benötigt werden und auch einfach anwendbar sind. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer entweder 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Man nennt Zahlen, die durch 2 teilbar sind, gerade Zahlen. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. Beispielsweise ist 687 durch 3 teilbar, weil die Ziffernsumme $6+8+7=21$ durch 3 teilbar ist. Jedoch ist 320471 nicht durch 3 teilbar, denn die Ziffernsumme $3+2+0+4+7+1=17$ ist nicht durch 3 teilbar. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. Beispielsweise ist 342962 nicht durch 4 teilbar, weil 62 nicht durch 4 teilbar ist. Hingegen ist 430284 durch 4 teilbar, weil 84 durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer entweder 0 oder 5 lautet. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist. Beispielsweise ist 21984273 durch 9 teilbar, denn die Ziffernsumme $2+1+9+8+4+2+7+3=36$ ist durch 9 teilbar. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 ist. Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist. Beispielsweise ist 7213160 durch 8 teilbar, weil 160 durch 8 teilbar ist. Diese Regel ist in der Praxis jedoch nur eingeschränkt nützlich, da man von jeder dreistelligen Zahl auswendig wissen müsste, ob sie durch 8 teilbar ist oder nicht. Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Ziffernsumme durch 11 teilbar ist. Beispielsweise ist 8251309 durch 11 teilbar, weil die alternierende Ziffernsumme $8-2+5-1+3-0+9=22$ durch 11 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.

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