Eine natürliche Zahl $a$ ist teilbar durch eine natürliche Zahl $b$, wenn die Division $a:b$ den Rest 0 ergibt. Man schreib dafür $b\mid a$, was soviel wie „$b$ teilt $a$“ bedeutet. Ist eine Zahl hingegen nicht durch eine andere Zahl teilbar, so schreibt man dies folgendermaßen auf: $3\nmid 10$ („3 teilt 10 nicht“). Grundsätzlich kann man die Teilbarkeit jederzeit mit einem Taschenrechner überprüfen, indem man die Division durchführt. Falls das Ergebnis einer ganzen Zahl entspricht, ist die Teilbarkeit erfüllt. In der Praxis ist es jedoch sinnvoll, einige Teilbarkeitsregeln zu kennen, welche besonders häufig vorkommen bzw. schnell angewendet werden können. Die mathematische Definition der Teilbarkeit lautet übrigens folgendermaßen: Man bezeichnet die natürliche Zahl $b$ als Teiler der natürlichen Zahl $a$, wenn es eine natürliche Zahl $n$ gibt, sodass $b\cdot n=a$ gilt.

• Jede natürliche Zahl ist durch 1 teilbar, also $1\mid a$.
• Jede natürliche Zahl (ungleich 0) ist durch sich selbst teilbar, also $a\mid a$.
• 0 ist durch jede natürliche Zahl größer 0 teilbar, also $a\mid 0$.
• Die Zahl 0 kann kein Teiler einer natürlichen Zahl größer als 0 sein. Denn wäre 0 ein Teiler von $a$, dann müsste es eine Zahl $b$ geben, sodass $b\cdot 0=a$ gilt.
• Gilt $a\mid b$ und $b\mid c$, so gilt auch $a\mid c$ (Transitivität der Teilbarkeit). Beispiel: 12 teilt 60 und 60 teilt 480. Daher ist 480 auch teilbar durch 12.
  
  
• Aus $k\mid a$ und $k\mid b$ folgt $k\mid (x\cdot a\pm y\cdot b)$ für beliebige natürliche Zahlen $x,y\in \mathbb{N}$.
  
  

Beispiel 1

Es soll überprüft werden, ob 35000 durch 7 teilbar ist. Man sollte wissen, dass 35 durch 7 teilbar ist. Außerdem ist es nicht schwierig, zu erkennen, dass 35000 durch 35 teilbar ist. Aus der oben beschrieben Transitivität folgt daher, dass 35000 auch durch 7 teilbar ist.

Beispiel 2

Es soll überprüft werden, ob 156 durch 13 teilbar ist. Man kann 156 zerlegen in $130+26$. Da man weiß, dass 130 durch 13 teilbar ist und auch 26 durch 13 teilbar ist, folgt aus der letzten oben genannten Eigenschaft, dass 156 ebenfalls durch 13 teilbar ist.

Die folgenden Teilbarkeitsregeln sollte man unbedingt kennen, da sie sehr häufig benötigt werden und auch einfach anwendbar sind. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer entweder 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Man nennt Zahlen, die durch 2 teilbar sind, gerade Zahlen. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. Beispielsweise ist 687 durch 3 teilbar, weil die Ziffernsumme $6+8+7=21$ durch 3 teilbar ist. Jedoch ist 320471 nicht durch 3 teilbar, denn die Ziffernsumme $3+2+0+4+7+1=17$ ist nicht durch 3 teilbar. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. Beispielsweise ist 342962 nicht durch 4 teilbar, weil 62 nicht durch 4 teilbar ist. Hingegen ist 430284 durch 4 teilbar, weil 84 durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer entweder 0 oder 5 lautet. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist. Beispielsweise ist 21984273 durch 9 teilbar, denn die Ziffernsumme $2+1+9+8+4+2+7+3=36$ ist durch 9 teilbar. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 ist. Eine Zahl ist durch 100 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern 0 sind.

Aufgabe 1

Ergänze die fehlende Ziffer X so, dass die Zahl die gewünschte Eigenschaft erfüllt! a) 2X8 ist durch 6 teilbar. b) 629X3 ist durch 9 teilbar.

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist. Beispielsweise ist 7213160 durch 8 teilbar, weil 160 durch 8 teilbar ist. Diese Regel ist in der Praxis jedoch nur eingeschränkt nützlich, da man von jeder dreistelligen Zahl auswendig wissen müsste, ob sie durch 8 teilbar ist oder nicht. Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Ziffernsumme durch 11 teilbar ist. Beispielsweise ist 8251309 durch 11 teilbar, weil die alternierende Ziffernsumme $8-2+5-1+3-0+9=22$ durch 11 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.

Aufgabe 2

Begründe, warum es nicht möglich ist, dass 1667X durch 18 teilbar ist!

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