Der größte gemeinsame Teiler (kurz GGT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kurz KGV) sind Kennzahlen, welche für zwei oder mehr natürliche Zahlen ermittelt werden können. Ausgangslage für die Berechnung sind in beiden Fällen die Primfaktorzerlegungen der vorgegebenen Zahlen. Zur schnellen Berechnung bzw. Kontrolle von Ergebnissen kann das Online-Tool GGT und KGV verwendet werden. Nachfolgend wird eine Möglichkeit beschrieben, mit welcher der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache einer Zahlenmenge ermittelt werden können:

1. Man bildet zunächst die Primfaktorzerlegung aller beteiligten Zahlen.
2. Für den GGT kommen nur Primfaktoren in Frage, welche in jeder Zahl enthalten sind. Man verwendet für jeden Primfaktor jeweils die kleinste vorkommende Hochzahl.
3. Für das KGV verwendet man die größte Hochzahl jedes Primfaktors. Hier genügt es, wenn die Primzahl in einer der Zahlen enthalten ist.

Der größte gemeinsame Teiler von zwei oder mehr natürlichen Zahlen ist die größte natürliche Zahl, welche in allen vorgegebenen Zahlen als Teiler enthalten ist. Für den größten gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$ verwendet man die Schreibweise $\mathrm{GGT}(a,b)$. Man verwendet den GGT beispielsweise beim Kürzen von Brüchen. Berechnet wird der GGT, indem man alle Primfaktoren multipliziert, die in jeder Primfaktorzerlegung vorkommen. Näher erklärt wird die Berechnung im folgenden Video anhand von vier Beispielen. Man nennt zwei natürliche Zahlen $a,b\in \mathbb{N}$ teilerfremd, falls $\text{ggT}(a,b)=1$ gilt. Zwei beliebige aufeinanderfolgende natürliche Zahlen $n$ und $n+1$ sind immer teilerfremd.

Beweis

Angenommen, die Zahl $k$ ist ein gemeinsamer Teiler von $n$ und $n+1$, also $k\mid n$ und $k\mid (n+1)$. Daraus folgt, dass $k\mid ((n+1)-n)$ gelten muss, also $k \mid 1$. Daher muss $k$ den Wert 1 haben.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder mehr natürlichen Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die durch alle vorgegebenen Zahlen teilbar ist. Für das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ verwendet man die Schreibweise $\mathrm{KGV}(a,b)$. Man verwendet es beispielsweise beim Erweitern von Brüchen auf den gemeinsamen Nenner. Berechnet wird das KGV, indem man von jeder Primzahl das häufigste Vorkommen aller Primfaktorzerlegungen multipliziert. Im folgenden Video wird die Berechnung anhand einiger Beispiele demonstriert: Sehr ausführlich und gut nachvollziehbar wird die Berechnung des KGV von drei Zahlen im nachfolgenden Video erklärt:

Beispiel 1

Es sollen GGT und KGV der Zahlen 24, 36 und 66 bestimmt werden. Dazu benötigt man zunächst die Primfaktorzerlegungen. Diese lauten folgendermaßen: \begin{equation} 24=2^3\cdot 3 \hspace{1cm} 36=2^2\cdot 3^2 \hspace{1cm} 66=2\cdot 3\cdot 11 \end{equation} Man muss daher folgende Primzahlen untersuchen: 2, 3, 11 Von diesen Primzahlen müssen jetzt noch die Exponenten bestimmt werden.

• Die Zahl 2 kommt in 66 am wenigsten oft vor (einmal). Als Exponent beim GGT erhält man daher 1. Am häufigsten kommt sie in 24 vor (dreimal), weshalb man beim KGV den Exponent 3 verwendet.
• Die Zahl 3 kommt in 24 und in 66 am wenigsten oft vor (einmal). Daher wird auch hier beim GGT der Exponent 1 verwendet. Am häufigsten kommt sie in 36 vor (zweimal), weshalb man beim KGV den Exponent 2 verwendet.
• Die Zahl 11 kommt in 24 und in 36 gar nicht vor. Daher entspricht der Exponent beim GGT der Zahl 0. In 66 kommt 11 einmal vor, weshalb man beim KGV den Exponent 1 nimmt.

Das Ergebnis lautet somit folgendermaßen: $$\text{GGT}(24,36,66)=2^1\cdot 3^1\cdot 11^0=2\cdot 3\cdot 1=6$$ $$\text{KGV}(24,36,66)=2^3\cdot 3^2\cdot 11^1=8\cdot 9\cdot 11=792$$

Beispiel 2

Gesucht sind $\text{GGT}(12,18,27)$ und $\text{KGV}(12,18,27)$. Die Primfaktorzerlegungen lauten $12=2^2\cdot 3$, $18=2\cdot 3^2$ und $27=3^3$. Es kommen also nur die beiden Primzahlen 2 und 3 vor. Die niedrigste Potenz von 2 ist 0 (weil 2 kein Primfaktor von 27 ist), und die niedrigste Potenz von 3 ist 1 (bei der Zahl 12). Somit ist der größte gemeinsame Teiler $2^0\cdot 3^1=1\cdot 3=3$. Die höchsten vorkommenden Potenzen sind bei der Primzahl $2^2$ (bei 12) und $3^3$ (bei 27). Daher ist $\text{KGV}(12,18,27)=2^2\cdot 3^3=4\cdot 27=108$.

Abschließend wird ein nützlicher Zusammenhang zwischen GGT und KGV erläutert. Für zwei beliebige positive natürliche Zahlen $a$ und $b$ gilt: $$\text{GGT}(a,b)\cdot \text{KGV}(a,b)=a\cdot b$$ Kennt man entweder GGT oder KGV, dann kann man die andere Größe durch diesen Zusammenhang berechnen.

Beispiel 3

Es ist bekannt, dass $\text{GGT}(3288,\,7224)=24$ ist. Es soll das KGV dieser Zahlen berechnet werden. Durch Umformen des soeben behandelten Zusammenhangs erhält man folgendes Ergebnis: \begin{equation} \text{KGV}(3288,\,7224)=\frac{3288\cdot 7224}{24}=989\,688 \end{equation}

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