keine vorherige Lektion vorhanden | Funktionsgraph zeichnen

Eine lineare Funktion wird verwendet, um Sachverhalte zu beschreiben, welche sich in gleichen Abständen um jeweils denselben absoluten Wert ändern. Nachfolgend ein paar Beispiele:

• Fährt ein Auto konstant mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h, so vergrößert sich der zurückgelegte Weg pro Stunde um 80 km.
• Ein bestimmter Rohstoff kostet 530 € pro Tonne. Möchte ein Unternehmen um 100 kg mehr kaufen, so steigen die Kosten dadurch um 53 €.
• Die Downloadgeschwindigkeit eines bestimmten Computerspiels beträgt konstant 2,5 MB/s. Innerhalb einer Minute verringert sich die ausstehende Datenmenge somit um 1,5 GB.

Der Funktionsgraph einer linearen Funktion entspricht einer Gerade. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat folgende Struktur: $$f(x)=k\cdot x+d$$ Den Parameter $k$ bezeichnet man als Steigung und den Parameter $d$ als Ordinatenabschnitt. Anhand der obigen Abbildung werden nachfolgend die Parameter $k$ und $d$ erklärt. Als Ordinate bezeichnet man die vertikale Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Der Ordinatenabschnitt wird daher auch häufig $y$-Achsenabschnitt genannt. Je nach Sachverhalt sind auch die Bezeichnungen Startwert bzw. Anfangswert gebräuchlich. Man verwendet für den Ordinatenabschnitt oft das Symbol $d$. Generell gilt Folgendes:

• Ist $d>0$, so wird die $y$-Achse oberhalb der $x$-Achse geschnitten.
• Ist $d=0$, so verläuft der Funktionsgraph durch den Koordinatenursprung.
• Ist $d<0$, so wird die $y$-Achse unterhalb der $x$-Achse geschnitten.

Der Ordinatenabschnitt $d$ gibt also an, in welcher Höhe der Funktionsgraph die vertikale Achse schneidet. Er entspricht dem Funktionswert an der Stelle 0 und kann daher durch $f(0)$ berechnet werden. In der obigen Abbildung beträgt der Ordinatenabschnitt 2.

Welchen Ordinatenabschnitt hat die Funktion mit der Gleichung $f(x)=3x$? Lösung: 0, denn statt $f(x)=3x$ könnte man auch $f(x)=3x+0$ schreiben

Die Steigung $k$ ist ein Maß dafür, wie steil die Gerade ansteigt bzw. abfällt. Konkret gibt sie an, wie sich der Funktionswert ändert, wenn die unabhängige Variable um 1 vergrößert wird. Man unterscheidet drei Fälle:

• Ist $k>0$, so ist die Gerade nach rechts ansteigend (streng monoton steigend).
• Ist $k=0$, so ist die Gerade waagrecht (parallel zur $x$-Achse). Man spricht in diesem Fall von einer konstanten Funktion (weil sie überall denselben Wert hat).
• Ist $k<0$, so ist die Gerade nach rechts abfallend (streng monoton fallend).

a) Welche Steigung hat die Funktion mit der Gleichung $f(x)=x+3$? b) Welche Steigung hat die Funktion mit der Gleichung $f(x)=-x+3$? Lösung: a) 1, denn statt $x$ könnte man auch $1\cdot x$ schreiben b) $-1$, denn statt $-x$ könnte man auch $-1\cdot x$ schreiben

Kennt man zwei beliebige Punkte $A(x_A\,|\,y_A)$ und $B(x_B\,|\,y_B)$ des Funktionsgraphen, so kann die Steigung durch die folgenden Formeln bestimmt werden: $$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$ Verwendet man diese Formel für die obige Abbildung, so erhält man folgende Steigung: $$k=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$ Das Symbol $\Delta$ ist der griechische Großbuchstabe Delta. Damit werden in der Mathematik und in den Naturwissenschaften häufig Abstände bezeichnet. Hier ist $\Delta y$ der vertikale Abstand zwischen zwei Punkten und $\Delta x$ der horizontale Abstand zwischen zwei Punkten.

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