Bei einem bestimmten Computerspiel gibt es zwei Spielmodi:   ▪  Modus 1: Man spielt ein einziges Spiel. Gewinnt man dieses, so erhält man eine Belohnung. Verliert man, so erhält man nichts.  ▪  Modus 2: Man spielt bis zu drei aufeinanderfolgende Spiele. Sobald man zwei Spiele gewonnen hat wird abgebrochen und man erhält drei Belohnungen. Sobald man zwei Spiele verloren hat wird ebenfalls abgebrochen und man erhält nichts. a) Zeige rechnerisch, dass man bei Modus 2 mehr Belohnungen pro Spiel bekommt, wenn man ein einzelnes Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0{,}5$ gewinnt. b) Es zeigt sich, dass Modus 2 umso rentabler ist, je höher die Wahrscheinlichkeit $p$ ist. Berechne, unterhalb welchen Wertes von $p$ es besser wäre, Modus 1 zu verwenden.

Die Zufallsvariable ist jeweils die Anzahl an Ziehungen, die nötig ist, um alle Asse zu erhalten. Berechne jeweils den Erwartungswert. a) In einem Kartenstapel aus insgesamt zehn Karten befindet sich genau ein Ass. Die gezogenen Karten werden anschließend weggelegt. b) In einem Kartenstapel aus insgesamt fünf Karten befinden sich genau zwei Asse. Die gezogenen Karten werden anschließend weggelegt. c) In einem Kartenstapel aus insgesamt sieben Karten befindet sich genau ein Ass. Die gezogene Karte wird nach der Ziehung wieder mit den anderen Karten des Stapels vermischt.

Berechne den Erwartungswert der Augenzahl, wenn ein gewöhnlicher sechsseitiger Würfel einmal geworfen wird. Gib den Rechenweg an!

Es werden zwei gewöhnliche sechsseitige Würfel geworfen. a) Berechne den Erwartungswert der Augensumme. b) Berechne den Erwartungswert des Produkts der Augenzahlen. c) Berechne den Erwartungswert der höheren der beiden Augenzahlen.

Hat man beim „Mensch ärgere dich nicht“ keine aktive Spielfigur, so hat man pro Runde drei Versuche, um eine Sechs zu würfeln und dadurch eine neue Spielfigur zu erhalten. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit $p$, dass man in einer einzigen Runde (also bei drei Würfen) mindestens einen Sechser erzielt. b) Erstelle mit Hilfe des Summensymbols einen Term, mit dem der Erwartungswert der notwendigen Runden, um einen Sechser zu erzielen. Verwende dazu die Variable $p$ aus Aufgabe a) sowie die Variable $n$ für die Anzahl der Runden. c) Berechne den Erwartungswert der Anzahl an Runden, die nötig sind, um einen Sechser zu würfeln. Verwende gegebenenfalls ein geeignetes Computerprogramm.

Das nachfolgend abgebildete Glücksrad ist in vier Segmente unterteilt, die 90°, 180° und zweimal 45° des Kreises einnehmen. Landet der Zeiger auf Sektor A, so erhält man 0 €. Für Sektor B beträgt die Auszahlung 6 €. Für Sektor C sind es 24 € und für Sektor D sogar 45 €. Der Einsatz pro Drehung beträgt 10 €. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt den Gewinn für eine Drehung.

a) Berechne den Erwartungswert $E(X)$. b) Beschreibe durch einen vollständigen Satz, was der in a) berechnete Erwartungswert im gegebenen Sachzusammenhang aussagt. c) Berechne, bei welchem Einsatz pro Drehung das Glücksspiel fair ist, also der Erwartungswert 0 ist.

Momentan kostet eine bestimmte Zimmerkategorie eines Hotels pro Übernachtung 78 €. Die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem Tag regnet, liegt in dieser Region bei 10 %. Der Manager des Hotels hat die Idee, dass Gäste an Regentagen nur noch 80 % des Preises zahlen müssen. Wie groß muss der neue Standardpreis sein, damit der Erwartungswert des Zimmerpreises weiterhin bei 78 € liegt?

In der Datenbank einer Quizwebseite befinden sich 490 Quizfragen. Es wird jeweils unabhängig von den bisherigen Fragen eine zufällige Frage aus den 490 Fragen ausgewählt. Es soll der Erwartungswert an Quizfragen berechnet werden, die gestellt werden, bis die erste Frage doppelt erscheint. a) Gib unter Verwendung des Summensymbols einen Term an, mit dem dieser Erwartungswert berechnet werden kann. b) Berechne mittels Computereinsatz den Erwartungswert.

Bei einem Glücksspiel wird ein gewöhnlicher sechsseitiger Würfel dreimal geworfen, wobei es folgende Auszahlungen gibt: a) Erstelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle für die Zufallsvariable der Auszahlung. b) Welcher Einsatz muss für eine Teilnahme verlangt werden, damit das Glücksspiel „fair“ ist?

Bei einem Glücksspiel werden ohne Zurücklegen zwei Kugeln aus einer Box gezogen, die jeweils einen bestimmten Wert haben. Die Zufallsvariable $X$ entspricht der Summe der Werte der gezogenen Kugeln. Folgende Kugeln befinden sich anfangs in der Box:   ▪  25 weiße Kugeln mit einem Wert von 0 €.  ▪  10 silberne Kugeln mit einem Wert von 5 €.  ▪  5 goldene Kugeln mit einem Wert von 20 €. a) Erstelle eine Tabelle, welche alle möglichen Wert $x_i$ der Zufallsvariable $X$ und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $P(X=x_i)$ darstellt. Gib alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent an und runde auf zwei Nachkommastellen. b) Berechne $E(X)$.

Im Videospiel „Mario Party“ kann man zwischen verschiedenen Würfeln wählen. Drei dieser Würfel haben folgende Werte, wobei alle sechs Werte gleich wahrscheinlich sind:   ▪  Würfel A: 1, 1, 1, 4, 4, 9  ▪  Würfel B: 3, 3, 3, 3, 4, 4  ▪  Würfel C: 1, 3, 3, 3, 5, 6 Wie bei vielen anderen Spielen auch, muss man nach dem Würfeln seine Figur bewegen. Die Anzahl der zurückzulegenden Felder entspricht dabei dem Würfelergebnis. a) Begründe durch mathematische Argumente, mit welchem Würfel man auf lange Sicht am schnellsten vorankommt. b) Marcel wählt immer Würfel A. Wie wahrscheinlich ist es, dass er in den nächsten zwei Runden mindestens 12 Felder vorrücken kann?

Eine U-Bahn-Linie fährt in 3-Minuten-Intervallen von der Station ab. Wie groß ist der Erwartungswert der Wartezeit auf die nächste U-Bahn, wenn jede U-Bahn 40 Sekunden in der Station steht? Gib das Ergebnis in Sekunden an.

Eine bestimme Fußgängerampel ist abwechselnd eine Minute und 20 Sekunden rot und anschließend 20 Sekunden grün. Berechne den Erwartungswert für die Wartezeit (in Sekunden) bei dieser Ampel, wenn man zufällig dort ankommt (also die Ankunftszeit einer Gleichverteilung entspricht).