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Aufgaben zu Reihen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu Reihen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

1. Arithmetische Reihe

Ein Unternehmen bringt ein neues Produkt mit einem Stückpreis von 6.5 € auf den Markt. Am ersten Tag werden 45 Stück des Produkts verkauft. Analysen der ersten Tage zeigen, dass die Anzahl der verkauften Produkte täglich um 3 Stück steigt. Wie groß wird der Gesamterlös dieses Produktes nach 70 Tagen sein?

Die erste Reihe eines Universitätshörsaals bietet Platz für 15 Studenten. Nach jeweils drei Reihen erhöht sich die Anzahl an Plätzen um zwei. Der Hörsaal hat 15 Reihen. Wie viele Studenten können einen Sitzplatz erhalten?

#305 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Berechne die Summe aller dreistelligen Zahlen, also $100 + 101 + ... + 998 + 999$.

#462 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Berechne die Summe aller geraden zweistelligen Zahlen, also $10 + 12 + ... + 98$.

Bei der nachfolgend abgebildeten, nicht maßstabsgetreuen Skizze einer Spirale ist die innerste Linie 10.7 cm lang. Jede weitere Linie ist um jeweils 3.1 cm länger als ihr Vorgänger.

a) Berechne die Länge einer Spirale bestehend aus insgesamt 100 Linien. Achte auf die Einheit!
b) Berechne, wie viele Linien nötig sind, damit die Spirale erstmals mindestens 1 km lang ist

#981 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Berechne die Summe aller ungeraden dreistelligen natürlichen Zahlen!

2. Geometrische Reihe

Niklas möchte nächstes Monat einen neuen Trainingsplan befolgen: Beim ersten Mal läuft er 3.2 km weit. Insgesamt läuft er 12 Mal und erhöht die zurückgelegte Distanz im Vergleich zum letzten Mal jeweils um 4 %.
a) Wie weit wird er in diesem Monat insgesamt laufen?
b) Wie weit läuft er beim letzten Mal?

Ein Gummiball wird aus 1.9 m Höhe fallen gelassen. Bei jedem Aufspringen nimmt die erreichte Höhe um 26 % ab.
a) Nach dem wievielten Aufspringen ist die erreichte Höhe erstmals kleiner als 1 cm?
b) Welchen Weg hat der Ball insgesamt zurückgelegt, bis er am Boden liegen bleibt?

#371 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Laut einer indischen Legende wurde der Wunsch an den König gerichtet, der Bevölkerung Weizen zu geben. Dies sollte nach folgendem Prinzip geschehen: Auf das erste Feld eines Schachbrettes (8 × 8 Felder) wird ein einzelnes Korn gelegt, auf das zweite Feld die doppelte Anzahl des ersten Feldes, auf das dritte Feld wiederum die doppelte Anzahl des zweiten Feldes, usw. Der König unterschätzte die Situation und stimmte zu.
a) Wie viele Körner müsste die Bevölkerung erhalten? Gib das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung $a\cdot 10^n$ an.
b) Wie viel Prozent der heutigen Weltjahresproduktion (diese beträgt etwa 750 Mio. Tonnen) entspricht dies, wenn die sogenannte Tausendkornmasse (also die Masse von 1000 Körnern) bei Weizen 50 Gramm beträgt.

Berechne die Summe der ersten 11 Zweierpotenzen, beginnend bei $2^0=1$.

#682 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Zeige, dass die Summe $2^0+2^1+...+2^{n-1}$ immer um 1 kleiner als $2^n$ ist.

Berechne den Wert der folgenden Summe: $1+1.45+1.45^2+1.45^3+...+1.45^{34}$

#1051 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Berechne die Summe aller Zweierpotenzen (beginnend bei $2^0=1$), die kleiner als 1.000.000.000 sind. Gib einen vollständigen Rechenweg an!

Berechne den Wert der folgenden Reihe. Beachte dabei den Startwert!
$\,\,\,\sum_{n=15}^{\infty} 75\cdot 0.764^n$

Berechne den Wert der folgenden Reihen.
a) $\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{0.78^n}$
b) $\sum_{n=0}^{\infty} (-1.55)^n$
c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5}{4^n}$

3. Konvergenz von Reihen

#1255 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die folgende Reihe gegeben: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{18}{n^2+2 n-246}$$
a) Berechne, ab welcher natürlichen Zahl $n$ die Ungleichung $n^2+2 n-246\geq n^2$ erfüllt ist.
b) Überprüfe mittels Minoranten- und Majorantenkriterium das Konvergenzverhalten der vorgegebenen Reihe. Erkläre deine Überlegungen dabei möglichst ausführlich und mathematisch korrekt.

#1256 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Überprüfe mit beliebigen Verfahren das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen.
a) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-6}{n+5}$
b) $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{9n-18}{15+4n} \right)^n$
c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{8^n}{n!}$

4. Potenzreihen

Taschenrechner und Computer berechnen den Kosinus eines Winkels $x$ (in Radiant) näherungsweise mit Hilfe folgender Potenzreihe: $$\cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\cdot \frac{x^{2k}}{(2k)!}$$
a) Berechne selbst eine Näherung für $\cos(1.44)$ indem du die ersten vier Summanden der obigen Summe addierst.
b) Berechne die relative Abweichung des Näherungswerts vom tatsächlichen Wert. Gib das Ergebnis in Prozent an.

Es ist die Exponentialfunktion $f(x)=2.9\cdot 1.77^x$ gegeben. Diese soll an der Entwicklungsstelle $x_0=0$ durch das Taylor-Polynom 4. Grades angenähert werden.
a) Ermittle dieses Taylor-Polynom $T_4$.
b) Berechne jenes Intervall, in dem das Taylor-Polynom um maximal 1 % von der gegebenen Funktion abweicht.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=3.6 \cdot \sqrt{x}+1.5$.
a) Erstelle mit Hilfe eines geeigneten Computerprogramms das Taylor-Polynom $T_{5}$ für die Entwicklungsstelle $x_0 = 6.3$.
b) Stelle die gegebene Funktion und das Taylor-Polynom in einem gemeinsamen Koordinatensystem grafisch dar und achte darauf, dass man erkennen kann, für welchen Bereich die Näherung „gut“ ist.

5. Vermischte Aufgaben

Berechne die folgenden Summen:
a) $\sum_{k=18}^{57} 5k$
b) $\sum_{k=0}^{26} 1.23^k$
c) $\sum_{k=0}^{\infty} 0.62^k$

Frau Winter findet einen neuen Arbeitsplatz und erhält dort im ersten Jahr insgesamt 25252 € (brutto). Es ist außerdem vertraglich festgelegt, dass sie jedes Jahr um 1.21 % mehr verdient. Berechne das gesamte Bruttoeinkommen der ersten zehn Jahre.

Beim Training wird folgendes Spiel durchgeführt: Entlang einer 100 m langen Strecke werden im Abstand von jeweils einem Meter Tennisbälle aufgelegt. Am Startpunkt steht ein Korb. Die Spielregeln besagen, dass die Bälle einzeln eingesammelt und in den Korb gelegt werden müssen. Es dürfen keine Bälle geworfen werden.
a) Wie weit muss man bei diesem Spiel insgesamt laufen?
b) David schätzt, dass das Spiel in höchstens 10 Minuten abgeschlossen ist. Erkläre nachvollziehbar, ob diese Schätzung realistisch ist und erstelle gegebenenfalls eine bessere Schätzung.

Ein neues Produkt konnte im ersten Monat 257-mal verkauft werden. Analysen der ersten 5 Monate ergaben, dass sich die Verkaufszahlen pro Monat um ca. 10.9 % erhöhen.
a) Berechne, wie viele Stück laut dieser Prognose innerhalb der ersten drei Jahre verkauft werden.
b) Erkläre, ob es realistisch ist, dass die Verkaufszahlen über einen langen Zeitraum monatlich um 10.9 % steigen bzw. erkläre, was gegen diese Prognose spricht.

Ein Federpendel hängt in 1.7 m Höhe und wird 9 cm nach unten ausgelenkt und losgelassen. Daraufhin pendelt es auf und ab, wobei die Amplitude bei jedem sogenannten „Totpunkt“ um 1.4 Prozent abnimmt. Berechne, welchen Weg das Pendel nach dem Loslassen insgesamt zurücklegt, bis es wieder zum Stillstand kommt. Gib das Ergebnis in Metern an.

#1268 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Nachfolgend ist im Intervall $[-1,1]$ der Graph einer Funktion abgebildet. Dieser Graph soll sich periodisch wiederholen und durch eine Fourier-Reihe angenähert werden.

a) Erstelle mit Hilfe einer Fallunterscheidung eine Funktionsgleichung, welche den abgebildeten Graphen im Intervall $[-1,1]$ beschreibt.
b) Bestimme die Koeffizienten $a_0, ..., a_5$ der zugehörigen Fourier-Reihe.
c) Stelle die Fourier-Reihe $F_5$ grafisch dar.
d) Erkläre, warum die Koeffizienten $b_n$ allesamt den Wert 0 haben.

#1269 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die folgende Potenzreihe gegeben: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{8^n}$$
a) Berechne den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.
b) Untersuche das Konvergenzverhalten an den Randstellen des Konvergenzbereichs.

#1270 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die folgende Potenzreihe gegeben: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{3n}$$
a) Berechne den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.
b) Untersuche das Konvergenzverhalten an den Randstellen des Konvergenzbereichs.