Aufgaben zu Reihen
Auf dieser Seite befinden sich Aufgaben zu Reihen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben dieser Internetseite werden in jeder Session – also nach jedem Neustart des Webbrowsers oder nach jedem neuen Login – neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich einzelne Zahlenwerte verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf exakt dieselbe Aufgabe zugreifen, so sollte daher ein Screenshot angefertigt werden. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können außerdem bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden.
1. Arithmetische Reihe
#23 |
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Ein Unternehmen bringt ein neues Produkt mit einem Stückpreis von 6.85 € auf den Markt. Am ersten Tag werden 45 Stück des Produkts verkauft. Analysen der ersten Tage zeigen, dass die Anzahl der verkauften Produkte täglich um 9 Stück steigt. Wie groß wird der Gesamterlös dieses Produktes nach 75 Tagen sein?
Antwort: [2] €#25 |
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Die erste Reihe eines Universitätshörsaals bietet Platz für 15 Studenten. Nach jeweils drei Reihen erhöht sich die Anzahl an Plätzen um zwei. Der Hörsaal hat 27 Reihen. Wie viele Studenten können einen Sitzplatz erhalten?
Anzahl der Sitzplätze: [0]#305 |
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Berechne die Summe aller dreistelligen Zahlen, also $100 + 101 + ... + 998 + 999$.
Ergebnis: [0]#462 |
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Berechne die Summe aller geraden zweistelligen Zahlen, also $10 + 12 + ... + 98$.
Ergebnis: [0]#757 |
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Beim Training wird folgendes Spiel durchgeführt: Entlang einer 100 m langen Strecke werden im Abstand von jeweils einem Meter Tennisbälle aufgelegt. Am Startpunkt steht ein Korb. Die Spielregeln besagen, dass die Bälle einzeln eingesammelt und in den Korb gelegt werden müssen. Es dürfen keine Bälle geworfen werden.
a) Wie weit muss man bei diesem Spiel insgesamt laufen?
Gesamtlaufstrecke: [0] m
b) Marcel schätzt, dass das Spiel in höchstens 10 Minuten abgeschlossen ist. Erkläre nachvollziehbar, ob diese Schätzung realistisch ist und erstelle gegebenenfalls eine bessere Schätzung.
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#770 |
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Bei der nachfolgend abgebildeten, nicht maßstabsgetreuen Skizze einer Spirale ist die innerste Linie 11.5 cm lang. Jede weitere Linie ist um jeweils 2.7 cm länger als ihr Vorgänger.
a) Berechne die Länge einer Spirale bestehend aus insgesamt 100 Linien. Achte auf die Einheit!
Gesamtlänge: [2] m
b) Berechne, wie viele Linien nötig sind, damit die Spirale erstmals mindestens 1 km lang ist
benötigte Anzahl: [0]
#981 |
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Berechne die Summe aller ungeraden dreistelligen natürlichen Zahlen!
Ergebnis: [0]2. Geometrische Reihe
#26 |
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Niklas möchte nächstes Monat einen neuen Trainingsplan befolgen: Beim ersten Mal läuft er 3.1 km weit. Insgesamt läuft er 6 Mal und erhöht die zurückgelegte Distanz im Vergleich zum letzten Mal jeweils um 2 %.
a) Wie weit wird er in diesem Monat insgesamt laufen? [3] km
b) Wie weit läuft er beim letzten Mal? [3] km#27 |
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Ein Gummiball wird aus 1.5 m Höhe fallen gelassen. Bei jedem Aufspringen nimmt die erreichte Höhe um 33 % ab.
a) Nach dem wievielten Aufspringen ist die erreichte Höhe erstmals kleiner als 1 cm? [0]
b) Welchen Weg hat der Ball insgesamt zurückgelegt, bis er am Boden liegen bleibt? [3] m#371 |
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Laut einer indischen Legende wurde der Wunsch an den König gerichtet, der Bevölkerung Weizen zu geben. Dies sollte nach folgendem Prinzip geschehen: Auf das erste Feld eines Schachbrettes (8 × 8 Felder) wird ein einzelnes Korn gelegt, auf das zweite Feld die doppelte Anzahl des ersten Feldes, auf das dritte Feld wiederum die doppelte Anzahl des zweiten Feldes, usw. Der König unterschätzte die Situation und stimmte zu.
a) Wie viele Körner müsste die Bevölkerung erhalten? Gib das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung $a\cdot 10^n$ an.
Ergebnis: $a= $ [2], $n=$ [0]
b) Wie viel Prozent der heutigen Weltjahresproduktion (diese beträgt etwa 750 Mio. Tonnen) entspricht dies, wenn die sogenannte Tausendkornmasse (also die Masse von 1000 Körnern) bei Weizen 50 Gramm beträgt.
Ergebnis: [2] %#389 |
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Frau Herzog findet einen neuen Arbeitsplatz und erhält dort im ersten Jahr insgesamt 25632 € (brutto). Es ist außerdem vertraglich festgelegt, dass sie jedes Jahr um 1.23 % mehr verdient. Berechne das gesamte Bruttoeinkommen der ersten zehn Jahre.
Ergebnis: [2] €#681 |
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Berechne die Summe der ersten 11 Zweierpotenzen, beginnend bei $2^0=1$.
Ergebnis: [0]#682 |
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Zeige, dass die Summe $2^0+2^1+...+2^{n-1}$ immer um 1 kleiner als $2^n$ ist.
Beweis (inkl. Lösungsweg): #696 |
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Berechne den Wert der folgenden Summe: $1+1.61+1.61^2+1.61^3+...+1.61^{34}$
Ergebnis: [2]#957 |
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Ein neues Produkt konnte im ersten Monat 252-mal verkauft werden. Analysen der ersten 4 Monate ergaben, dass sich die Verkaufszahlen pro Monat um ca. 11.8 % erhöhen.
a) Berechne, wie viele Stück laut dieser Prognose innerhalb der ersten drei Jahre verkauft werden.
Ergebnis: [0]
b) Erkläre, ob es realistisch ist, dass die Verkaufszahlen über einen langen Zeitraum monatlich um 11.8 % steigen bzw. erkläre, was gegen diese Prognose spricht.
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#1051 |
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Berechne die Summe aller Zweierpotenzen (beginnend bei $2^0=1$), die kleiner als 1.000.000.000 sind. Gib einen vollständigen Rechenweg an!
Ergebnis (inkl. Rechenweg): [0]#1072 |
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Ein Federpendel hängt in 1.3 m Höhe und wird 10 cm nach unten ausgelenkt und losgelassen. Daraufhin pendelt es auf und ab, wobei die Amplitude bei jedem sogenannten „Totpunkt“ um 1.3 Prozent abnimmt. Berechne, welchen Weg das Pendel nach dem Loslassen insgesamt zurücklegt, bis es wieder zum Stillstand kommt. Gib das Ergebnis in Metern an.
zurückgelegter Weg: [2] m#1253 |
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Berechne durch handschriftliche Rechnung den Wert der folgenden Reihe. Beachte dabei den Startwert!
$\,\,\,\sum_{n=23}^{\infty} 77\cdot 0.771^n$
Ergebnis (inkl. Rechenweg): #1254 |
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Berechne durch handschriftliche Rechnung den Wert der folgenden Reihen.
a) $\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{0.73^n}$
b) $\sum_{n=0}^{\infty} (-1.6)^n$
c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3}{2^n}$ 3. Konvergenz von Reihen
#1255 |
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Es ist die folgende Reihe gegeben:
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{13}{n^2+8 n-240}$$
a) Berechne, ab welcher natürlichen Zahl $n$ die Ungleichung $n^2+8 n-240\geq n^2$ erfüllt ist.
Ergerbnis: [0]
b) Überprüfe mittels Minoranten- und Majorantenkriterium das Konvergenzverhalten der vorgegebenen Reihe. Erkläre deine Überlegungen dabei möglichst ausführlich und mathematisch korrekt.
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#1256 |
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Überprüfe mit beliebigen Verfahren das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen. Gib einen handschriftlichen Rechenweg an und erkläre deine Schlussfolgerungen.
a) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-2}{n+9}$
b) $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{9n-18}{15+4n} \right)^n$
c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!}$ 4. Potenzreihen
#510 |
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Taschenrechner und Computer berechnen den Kosinus eines Winkels $x$ (in Radiant) näherungsweise mit Hilfe folgender Potenzreihe:
$$\cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\cdot \frac{x^{2k}}{(2k)!}$$
a) Berechne selbst eine Näherung für $\cos(1.43)$ indem du die ersten vier Summanden der obigen Summe addierst. Achte auf die vorgegebene Genauigkeit!
Näherungswert: [6]
b) Berechne die relative Abweichung des Näherungswerts vom tatsächlichen Wert. Gib das Ergebnis in Prozent an. Achte auf die vorgegebene Genauigkeit!
relative Abweichung: [4] %#1266 |
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Es ist die Exponentialfunktion $f(x)=2.4\cdot 1.76^x$ gegeben. Diese soll an der Entwicklungsstelle $x_0=0$ durch das Taylor-Polynom 4. Grades angenähert werden.
a) Ermittle dieses Taylor-Polynom $T_4$ durch handschriftliche Rechnung.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
b) Berechne jenes Intervall, in dem das Taylor-Polynom um maximal 1 % von der gegebenen Funktion abweicht.
Intervall: [2]#1267 |
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Gegeben ist die Funktion $f(x)=2 \cdot \sqrt{x}+2.6$.
a) Erstelle mit Hilfe eines geeigneten Computerprogramms das Taylor-Polynom $T_{9}$ für die Entwicklungsstelle $x_0 = 6.3$.
Screenshot des Ergebnisses (inkl. Eingabe):
b) Stelle die gegebene Funktion und das Taylor-Polynom in einem gemeinsamen Koordinatensystem grafisch dar und achte darauf, dass man erkennen kann, für welchen Bereich die Näherung „gut“ ist.
Screenshot: #1269 |
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Es ist die folgende Potenzreihe gegeben:
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{8^n}$$
a) Berechne den Konvergenzradius dieser Potenzreihe durch handschriftliche Rechnung.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
b) Untersuche das Konvergenzverhalten an den Randstellen des Konvergenzbereichs durch handschriftliche Rechnung.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg): #1270 |
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Es ist die folgende Potenzreihe gegeben:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{6n}$$
a) Berechne den Konvergenzradius dieser Potenzreihe durch handschriftliche Rechnung.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
b) Untersuche das Konvergenzverhalten an den Randstellen des Konvergenzbereichs durch handschriftliche Rechnung.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg): 5. Fourierreihen
#1268 |
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Nachfolgend ist im Intervall $[-1,1]$ der Graph einer Funktion abgebildet. Dieser Graph soll sich periodisch wiederholen und durch eine Fourier-Reihe angenähert werden.
a) Erstelle mit Hilfe einer Fallunterscheidung eine Funktionsgleichung, welche den abgebildeten Graphen im Intervall $[-1,1]$ beschreibt.
Funktionsgleichung:
b) Bestimme die Koeffizienten $a_0, ..., a_5$ der zugehörigen Fourier-Reihe. Gib einen Lösungsweg an.
Koeffizienten (inkl. Lösungsweg):
c) Stelle die Fourier-Reihe $F_5$ grafisch dar.
Abbildung:
d) Erkläre, warum die Koeffizienten $b_n$ allesamt den Wert 0 haben.
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6. Vermischte Aufgaben
#24 |
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Berechne die folgenden Summen:
a) $\sum_{k=14}^{68} 3k$ [0]
b) $\sum_{k=0}^{25} 1.13^k$ [3]
c) $\sum_{k=0}^{\infty} 0.83^k$ [3]#509 |
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Es gilt der folgende Zusammenhang:
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
a) Berechne ohne Computer einen Näherungswert der Zahl $\pi$, indem du die ersten 15 Summanden addierst und die Gleichung passend umformst.
Näherungswert (inkl. Rechenweg):
b) Berechne die relative Abweichung des Näherungswerts vom tatsächlichen Wert. Gib das Ergebnis in Prozent an.
relative Abweichung: [2] %#1354 |
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Nachfolgend ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ abgebildet. Das Muster im Inneren des Quadrates wird unendlich fortgesetzt.
a) Erstelle eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts aller grauen Flächen. Gib einen nachvollziehbaren Lösungsweg an.
Formel (inkl. Lösungsweg):
b) Berechne den Flächeninhalt aller grauen Flächen für $a=25$ mm. Das Ergebnis soll die Einheit cm² haben.
Flächeninhalt: [2] cm²
c) Wie viel Prozent des gesamten Quadrats sind grau?
Anteil: [2] %
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