In einem neu angelegten Teich werden 72 Fische ausgesetzt. Nach 6 Jahren sind es bereits 327 Fische. Es wird geschätzt, dass die Populationsobergrenze bei 1250 Fischen liegt. a) Erstelle eine logistische Funktion der nachfolgenden Form, welche die Fischpopulation $N$ in Abhängigkeit der Jahre $t$ nach dem Aussetzen beschreibt: $$N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t}$$ b) Wie viele Fische wird es in 10 Jahren geben? c) Wie viele Jahre nach dem Aussetzen werden 97 % der Populationsobergrenze erreicht sein?

Es ist die folgende Funktionsgleichung gegeben: $$N(t)=\frac{54\,000}{25 + 3 \cdot e^{-0.72 \cdot t}}$$ Begründe anhand des Funktionsterms, welchem Wert sich die Funktion $N$ mit wachsendem $t$ annähert.

Durch das sogenannte Piotrowski-Gesetz, welches die Struktur einer logistischen Funktion aufweist, lässt sich der Sprachwandel mathematisch beschreiben. Beispielsweise beschreibt die folgende Funktion die Anzahl der deutschen Wörter, die aus dem Arabischen übernommen wurden (z. B. Alkohol, Magazin, Rabatt, Ziffer, Zucker): $$N(t)=\frac{160}{1+7{,}41\cdot e^{-0{,}696t}}$$ Dabei ist $t$ die Zeit (gemessen in Jahrhunderten), wobei $t=0$ für den Beginn des 13. Jahrhunderts steht und $N(t)$ die Anzahl an insgesamt verwendeten arabischen Begriffen. a) Wie viele arabische Begriffe wurden im Jahr 1520 in der deutschen Sprache verwendet? b) Was ist gemäß dieser Modellfunktion die Höchstanzahl an arabischen Begriffen, die in der deutschen Sprache verwendet werden?

Ein Spielzeughersteller bringt für das Weihnachtsgeschäft 10 Wochen vor Weihnachten ein neues Produkt auf den Markt. Die Zielgruppenanalyse hat zuvor ergeben, dass es 75000 potentielle Käufer gibt. Nach der ersten Woche (also bei $t=1$) wurden bereits 3278 Stück verkauft. Nach drei Wochen sind es insgesamt 7665 Stück. Es wird angenommen, dass die Verkaufszahl gemäß einer logistischen Funktion wächst. a) Bestimme die Funktionsgleichung der logistische Wachstumsfunktion und skizziere den Funktionsgraphen. b) Wie viele Stück werden gemäß dieser Funktion im Laufe der vierten Woche verkauft? c) In welcher Woche werden am meisten Stück verkauft, und wie viele sind das? d) Wie viele Stück werden bis Weihnachten (also bis zum Ende der 10. Woche) insgesamt verkauft? e) Wie viel Prozent der Zielgruppe kauften dieses Produkt bis Weihnachten?

Die Ausbreitung einer Krankheit kann durch nachfolgende logistische Funktion beschrieben werden. Dabei sind $t$ die Tage nach Ausbruch der Krankheit und $N(t)$ die Anzahl an erkrankten Personen. $$N(t)=\frac{1000}{1+999\cdot 0.38^t}$$ a) Wie viele Personen haben sich nach 5 Tagen mit dieser Krankheit angesteckt? b) Nach wie vielen Tagen haben 350 Personen diese Krankheit? c) Was wird durch den Term $N(7)-N(6)$ beschrieben? d) Beschreibe, was die in der Funktionsgleichung vorkommende Zahl 1000 im Sachzusammenhang bedeutet.

Bestimme die Parameter $S$, $c$ und $a$ der logistischen Funktion $N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t}$ so, dass der Funktionsgraph deiner Funktion in den wesentlichen Bereichen mit der folgenden Abbildung übereinstimmt.