Erkläre in eigenen Worten, wie man den Logarithmus $\log_{7}(408)$ ohne Taschenrechner relativ genau abschätzen kann. Es sollen zumindest die Stellen vor dem Komma stimmen.

Beschreibe, wie man ohne Taschenrechner sofort erkennen kann, dass $\lg(250)$ zwischen 2 und 3 liegt.

Bestimme den Wert der folgenden Logarithmen auf vier Nachkommastellen genau. $\lg(344)$ $\ln(75.2)$ $\log_{3}(0.77)$

Ordne jedem Term der zweiten Spalte den äquivalenten Term der dritten Spalte zu, indem du den entsprechenden Buchstaben ergänzt.

Ordne jedem Term der zweiten Spalte den äquivalenten Term der dritten Spalte zu, indem du den entsprechenden Buchstaben ergänzt.

Gib an, ob die folgenden Umformungen richtig oder falsch sind. richtig falsch $\log(a\cdot b^2)=\log(a)+\log(b)+\log(b)$ richtig falsch $\log(a^2\cdot b)=2\cdot \log(a)\cdot \log(b)$ richtig falsch $\log(a+b^2)=\log(a)\cdot \log(b^2)$ richtig falsch $\log\left(\frac{a}{b^2}\right)=\log(a)-2\cdot \log(b)$ richtig falsch $\log\left(\frac{a^2}{b}\right)=2\cdot \log\left(\frac{a}{b}\right)$

Kreuze jeweils an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. wahr falsch $\log(x\cdot y^2) = \log(x)+2\cdot \log(y)$ wahr falsch $\log(x^2\cdot y) = \log(x)+\log(x)+\log(y)$ wahr falsch $\log(x^2-y) = \frac{\log(x^2)}{\log(y)}$ wahr falsch $\log\left(\frac{x^2}{y}\right) = 2\cdot \log\left(\frac{x}{y}\right)$ wahr falsch $\log\left(\frac{x}{y^2}\right) = \log(x)-2\cdot \log(y)$

a) Beschreibe durch einen vollständigen Satz, wann das Ergebnis von $\log_a(x)$ negativ ist, wenn für die Basis $a>1$ gilt. b) Beschreibe durch einen vollständigen Satz, wann das Ergebnis von $\log_a(x)$ negativ ist, wenn für die Basis $0< a<1 $ gilt.

Zerlege folgende Terme in eine Darstellung mit einfachsten Numeri (also möglichst kleine Terme innerhalb der Logarithmen). a) $~\log \left( \frac{y^5}{\sqrt[7]{x}} \right) $ b) $~\log \left( \sqrt{20\cdot a^4\cdot b^7~ } \right) $ c) $~\log \left( \frac{z^2+5z}{z-8} \right) $

Stelle den folgenden Term durch einen einzigen Logarithmus dar und vereinfache so weit, wie möglich! $$ \ln\left(a^2-b^2\right)- 2\cdot \ln(a-b) $$

Löse die folgende Exponentialgleichung! $$1.8\cdot 2.27^{\,1.5x+3.5}-45=70$$

Löse die folgende Exponentialgleichung! $$3.1\cdot 1.54^x = 2.51^{\,x-1.5}$$

Es soll der Zusammenhang zwischen Einwohnerzahl und Fläche für verschiedene Länder in einem doppeltlogarithmischen Diagramm (jeweils mit Basis 10) dargestellt werden. Auf der horizontalen Achse wird die Fläche in km² und auf der vertikalen Achse die Einwohnerzahl in Mio. aufgetragen. Alle Punkte sollen beschriftet werden und neben dem Diagramm soll eine Tabelle mit allen zugehörigen Werten ersichtlich sein. Folgende Länder sollen dargestellt werden: Indonesien, Philippinen, Spanien, Kroatien, Armenien

Lies die Koordinaten der Punkte L und U aus dem folgenden doppeltlogarithmischen Diagramm ab.

Ein Blatt Papier kann nur ca. sieben Mal in der Mitte gefaltet werden. Je nach Art des Papiers kann es kleine Abweichungen geben. a) Wie oft müsste man ein 0.16 mm dickes Blatt Papier mindestens falten, damit der entstehende „Turm“ höher als 1 m ist? b) Wie dick wäre der „Turm“, wenn das Blatt 43 Mal gefaltet wird? c) Recherchiere im Internet nach einer vergleichbaren Größe aus der Realität, um sich das Ergebnis von Aufgabe b) besser vorstellen zu können.

Unter 652 Proben einer bestimmten Flüssigkeit befindet sich genau eine vergiftete Probe. Da die nötige chemische Analyse sehr teuer ist, werden die Proben zunächst in zwei Hälften geteilt. Von allen Proben einer Hälfte wird jeweils ein Tropfen entnommen und gemischt. Ist der Test dieser neuen Probe positiv, so weiß man, dass die vergiftete Probe in dieser Hälfte war. Andernfalls war sie in der nicht untersuchten Hälfte. Auf diese Weise lässt sich die Anzahl der in Frage kommenden Proben schrittweise halbieren. Wie viele Tests benötigt man höchstens, um die vergiftete Probe zu finden?

Es gibt Tassen, T-Shirts und andere Artikel, auf denen man folgenden Weihnachtsgruß findet: $$y=\frac{\log\left( \frac{x}{m}-sa \right)}{r^2} \\ yr^2 = \log\left( \frac{x}{m}-sa \right) \\ e^{yr^2} = \frac{x}{m}-sa \\ me^{yr^2} = x-msa \\ me^{rry} = x-mas$$ Erkläre, welche Umformungen zwischen den einzelnen Zeilen durchgeführt wurden.