Aufgaben zu komplexen Zahlen
Auf dieser Seite befinden sich Aufgaben zu komplexen Zahlen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben dieser Internetseite werden in jeder Session – also nach jedem Neustart des Webbrowsers oder nach jedem neuen Login – neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich einzelne Zahlenwerte verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf exakt dieselbe Aufgabe zugreifen, so sollte daher ein Screenshot angefertigt werden.
Inhaltsverzeichnis
1. Vermischte Aufgaben
#297 |
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Bekanntlich ist $i^2=-1$. Die folgende Umformung muss daher fehlerhaft sein.
$$i^2=i\cdot i=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1$$
Finde und beschreibe den Fehler!
Finde eine komplexe Zahl $z$, für welche gilt $|z|=35$ und $\text{Re}(z)=13$.
Finde eine komplexe Zahl $z$, für welche gilt $|z|=51$ und $\text{Im}(z)=32$.
#1083 |
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Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Für jede komplexe Zahl $z$ gilt $\overline{(\overline{z})}=z$.
Für zwei komplexe Zahlen $z_1$ und $z_2$ gilt immer $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$.
Für jede komplexe Zahl $z$ gilt $z\cdot \overline{z}=|\,z\,|^{\,2}$.
Für jede komplexe Zahl $z$ gilt $|\,\overline{z}\,|=|\,z\,|$.
$i^{\,2}+i^{\,4}=0$
$i^{i}$ ist eine reelle Zahl.#1423 |
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Berechne $(3 + 4i)\cdot (4-7i)$ handschriftlich und stelle das Ergebnis in der Form $a+b\cdot i$ dar.
#1424 |
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Berechne $\frac{5 + 2i}{4-3i}$ handschriftlich und stelle das Ergebnis in der Form $a+b\cdot i$ dar.
#1425 |
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Berechne $(9 + 2i)^2 - (6-7i)^2$ handschriftlich und stelle das Ergebnis in der Form $a+b\cdot i$ dar.
#1426 |
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Es ist die komplexe Zahl $z=49 + 28i$ gegeben.
a) Berechne den Betrag $|z|$.
b) Gib den Realteil $\mathrm{Re}(z)$ und den Imaginärteil $\mathrm{Im}(z)$ an.
c) Gib die komplex konjugierte Zahl $\bar z$ an.
#1427 |
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Vereinfache die folgenden Potenzen der imaginären Einheit $i$. Das Ergebnis soll keinen Exponent mehr enthalten.
a) $i^{\,59}=$
b) $i^{\,-30}=$ #1428 |
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Zeichne die folgenden komplexen Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene. Rechne dafür zuerst den Winkel $\varphi$ in Grad um und gib das Ergebnis an. Beschrifte die Zahlen.
$z_1=2\cdot e^{0.45\cdot i}$, $z_2=5\cdot e^{2.12\cdot i}$, $z_3=5\cdot e^{-1.67\cdot i}$
#1429 |
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Rechne die komplexe Zahl $-6+5i$ von der Komponentenform in die Exponentialform und in die trigonometrische Form um.
#1430 |
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Rechne die komplexe Zahl $\,5 \cdot e^{-0.63\cdot i}\,$ von der Exponentialform in die Komponentenform $a+bi$ um.
#1431 |
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Es sind die komplexen Zahlen $z_1 = 4.9 \cdot e^{2.23\cdot i}$ und $z_2 = 2 \cdot e^{-1.25\cdot i}$ gegeben. Führe die folgenden Berechnungen durch und gib die Ergebnisse ebenfalls in Exponentialform an, wobei $\varphi$ im Intervall $(-\pi; \pi]$ liegen soll.
a) $z_1\cdot z_2$
b) $\frac{z_1}{z_2}$
c) $z_1^{3}$
#1432 |
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Berechne $i^{i}$ und gib einen vollständigen Lösungsweg an.