Elias möchte nächstes Monat einen neuen Trainingsplan befolgen: Beim ersten Mal läuft er 3.2 km weit. Insgesamt läuft er 12 Mal und erhöht die zurückgelegte Distanz im Vergleich zum letzten Mal jeweils um 2 %. a) Wie weit wird er in diesem Monat insgesamt laufen? b) Wie weit läuft er beim letzten Mal?

Ein Gummiball wird aus der Höhe $h_0 = 2\,\mathrm{m}$ fallen gelassen. Nach jedem Aufspringen nimmt die erreichte Höhe um 31 % ab. Nachfolgend ist der zeitliche Verlauf abgebildet.

a) Nach dem wievielten Aufspringen ist die erreichte Höhe erstmals kleiner als 1 cm? Das Ergebnis muss ganzzahlig sein. Achte auf korrektes Runden! b) In diesem idealisierten Modell würde der Ball unendlich oft aufspringen. Welchen Weg legt er durch seine Auf- und Abbewegung insgesamt zurück?

Laut einer indischen Legende wurde der Wunsch an den König gerichtet, der Bevölkerung Weizen zu geben. Dies sollte nach folgendem Prinzip geschehen: Auf das erste Feld eines Schachbrettes (8 × 8 Felder) wird ein einzelnes Korn gelegt, auf das zweite Feld die doppelte Anzahl des ersten Feldes, auf das dritte Feld wiederum die doppelte Anzahl des zweiten Feldes, usw. Der König unterschätzte die Situation und stimmte zu. a) Wie viele Körner müsste die Bevölkerung erhalten? Gib das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung $a\cdot 10^n$ an. b) Wie viel Prozent der heutigen Weltjahresproduktion (diese beträgt etwa 750 Mio. Tonnen) entspricht dies, wenn die sogenannte Tausendkornmasse (also die Masse von 1000 Körnern) bei Weizen 50 Gramm beträgt.

Frau Holzer findet einen neuen Arbeitsplatz und erhält dort im ersten Jahr insgesamt 26034 € (brutto). Es ist außerdem vertraglich festgelegt, dass sie jedes Jahr um 1.24 % mehr verdient. Berechne das gesamte Bruttoeinkommen der ersten zehn Jahre.

Berechne die Summe der ersten 10 Zweierpotenzen, beginnend bei $2^0=1$.

Zeige, dass die Summe $2^0+2^1+...+2^{n-1}$ immer um 1 kleiner als $2^n$ ist.

Berechne den Wert der folgenden Summe: $1+1.6+1.6^2+1.6^3+...+1.6^{28}$

Nachfolgend ist ein Muster dargestellt, welches aus gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecken besteht.

Dieses Muster wird unendlich fortgesetzt. Welchen Flächeninhalt hat die gesamte Fläche, wenn die Kathetenlänge $a$ des größten Dreiecks 2 cm beträgt?

Ein neues Produkt konnte im ersten Monat 259-mal verkauft werden. Analysen der ersten 4 Monate ergaben, dass sich die Verkaufszahlen pro Monat um ca. 11.6 % erhöhen. a) Berechne, wie viele Stück laut dieser Prognose innerhalb der ersten drei Jahre verkauft werden. b) Erkläre, ob es realistisch ist, dass die Verkaufszahlen über einen langen Zeitraum monatlich um 11.6 % steigen bzw. erkläre, was gegen diese Prognose spricht.

Berechne die Summe aller Zweierpotenzen (beginnend bei $2^0=1$), die kleiner als 1.000.000.000 sind. Gib einen vollständigen Rechenweg an!

Ein Federpendel hängt in 1.2 m Höhe und wird 13 cm nach unten ausgelenkt und losgelassen. Daraufhin pendelt es auf und ab, wobei die Amplitude bei jedem sogenannten „Totpunkt“ um 1.8 Prozent abnimmt. Berechne, welchen Weg das Pendel nach dem Loslassen insgesamt zurücklegt, bis es wieder zum Stillstand kommt. Gib das Ergebnis in Metern an.

Berechne den Wert der folgenden Reihe. Beachte dabei den Startwert! $\,\,\,\sum_{n=25}^{\infty} 77\cdot 0.813^n$

Berechne den Wert der folgenden Reihen. a) $\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{0.72^n}$ b) $\sum_{n=0}^{\infty} (-1.63)^n$ c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{9}{4^n}$

Nachfolgend sind die ersten Glieder zweier geometrischer Folgen gegeben. Erkläre jeweils, ob die zugehörigen unendlichen geometrischen Reihen konvergieren oder divergieren und berechne gegebenenfalls den Grenzwert. a) $\frac{1}{9};~ -\frac{2}{3};~ 4;~ -24;~ 144;~ ...$ b) $20; ~16;~ 12{,}8; ~10{,}24;~ 8{,}192;~ ...$