Aufgaben zur Geometrie der Ebene
Auf dieser Seite befinden sich Aufgaben zur Geometrie der Ebene. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben dieser Internetseite werden in jeder Session – also nach jedem Neustart des Webbrowsers oder nach jedem neuen Login – neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich einzelne Zahlenwerte verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf exakt dieselbe Aufgabe zugreifen, so sollte daher ein Screenshot angefertigt werden.
Inhaltsverzeichnis
1. Winkel
#1188 |
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In der folgenden nicht maßstabsgetreuen Skizze sind die Winkel $\alpha=66^\circ$, $\delta=127^\circ$ und $\varepsilon=57^\circ$ bekannt. Bestimme die fehlenden Winkel $\beta$ und $\gamma$.
#1189 |
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In der folgenden nicht maßstabsgetreuen Skizze sind die Winkel $\beta=27^\circ$ und $\gamma=105^\circ$ bekannt. Bestimme die fehlenden Winkel $\alpha$ und $\delta$.
#1190 |
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Wandle die folgenden Winkelangaben jeweils in Grad, Winkelminuten und Winkelsekunden um. Runde die Winkelsekunden gegebenenfalls auf eine ganze Zahl.
a) $54.3070^\circ$
b) $635.37'$
c) $28350''$ #1191 |
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Wandle die folgenden Winkelangaben jeweils in Grad um.
a) $13^\circ~50'~15''$
b) $38'~21''$#1307 |
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Vervollständige den folgenden Lückentext:
▪
Bei 106° handelt es sich um einen _____________________ Winkel. ▪
Die Winkel 17° und 163° sind _____________________. ▪
Der Komplementärwinkel von 46° ist _____________°.2. Dreiecke
Vom nachfolgend abgebildeten rechtwinkligen Dreieck sind die Kathete $x=7.1$ cm und die Hypotenuse $z=17.8$ cm bekannt. Berechne die fehlende Kathete $y$, den Flächeninhalt $A$ und die Höhe $t$. Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.
Emma möchte bestimmen, wie hoch der Baum in ihrem Garten ist. Sie misst dazu die Länge ihres eigenen Schattens (1.6 m) sowie die Länge des Baumschattens (17.5 m). Ihre Körpergröße beträgt 168 cm. Wie hoch ist der Baum ungefähr?
Ein ursprünglich 36 m hoher Baum ist aufgrund eines Sturms so abgeknickt, dass seine Spitze 18 m vom Stamm entfernt den Boden berührt. In welcher Höhe ist der Baum abgeknickt?
Bei einem Sturm wurde ein Baum in einer Höhe von 11 m abgeknickt. Die Spitze des Baumes berührt den Boden in 6 m Entfernung vom Baumstamm. Wie hoch war der Baum?
Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha=37.44\,^\circ$ und $\beta=105.95\,^\circ$. Berechne den fehlenden Winkel $\gamma$.
Von einem gleichschenkligen Dreieck kennt man den Flächeninhalt $A=32.91$ cm² und die Höhe $h_c=50$ mm. Berechne die Seitenlängen $a$ und $c$ sowie die Höhe $h_a$. Achte dabei auf die Einheiten. Die Benennung der Variablen ist der abgebildeten nicht maßstabsgetreuen Skizze zu entnehmen.
Der Schulweg von Thomas führt an einer 216 m × 97 m großen, rechteckigen Wiese vorbei. Thomas entscheidet sich dazu, die Wiese diagonal zu durchqueren, anstatt wie sonst immer, am Gehweg zu gehen. Welche Distanz erspart er sich durch diese Abkürzung?
#587 |
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Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Jedes Dreieck ist durch die Angabe von zwei unabhängigen Größen vollständig bestimmt.
Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch die Angabe von zwei unabhängigen Größen vollständig bestimmt.
Ein gleichseitiges Dreieck ist durch die Angabe einer einzigen Größe vollständig bestimmt.Eine Person mit Aughöhe 1.66 m steht am Dach eines 20 m hohen Turms. 42 m vor dem Turm befindet sich eine 3.8 m hohe Mauer. Die Person sieht über die Mauer hinweg gerade noch das näher gelegene Ufer eines Flusses.
a) Erstelle eine vollständig beschriftete Skizze des Sachverhalts.
b) Berechne, wie weit der Fluss horizontal gemessen vom Turm entfernt ist.
Eine 4.6 m lange Leiter muss am Boden einen Mindestabstand von 1.4 m zur Mauer haben, damit sie nicht umkippt. Was ist die maximal zulässige Höhe, in welcher die Leiter an die Mauer angelehnt werden darf?
#1037 |
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Ermittle die drei Seitenlängen eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks, dessen Umfang 100 cm beträgt. Die Seitenlängen müssen nicht ganzzahlig sein. Dokumentiere deine Vorgehensweise!
#1038 |
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Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen $x = 7$ cm und $y = 34$ cm. Wähle die fehlende Seitenlänge $z$ jeweils so, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
a) Das Dreieck ist nicht konstruierbar.
b) Das Dreieck ist gleichschenklig.
c) Das Dreieck ist rechtwinklig.
#1088 |
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Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Die drei Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks betragen jeweils 120°.
Ein Dreieck mit zwei gleichen Winkeln ist immer gleichschenklig.
Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß.
Haben zwei Winkel eines Dreiecks 60°, dann handelt es sich immer um ein gleichseitiges Dreieck.
Jedes rechtwinklige Dreieck hat zwei spitze Winkel.
Jedes Dreieck mit zwei spitzen Winkeln ist rechtwinklig.
Ein Dreieck mit den Winkeln 30° und 60° ist immer rechtwinklig.#1091 |
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Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Ein Dreieck mit den Seitenlängen 6 cm, 8 cm und 10 cm ist rechtwinklig.
Ein Dreieck mit den Seitenlängen 5 cm, 10 cm und 15 cm ist rechtwinklig.
Ein Dreieck mit den Seitenlängen 8 cm, 15 cm und 17 cm ist rechtwinklig.
Es gibt kein Dreieck mit den Seitenlängen 17 cm, 23 cm und 49 cm.
Es gibt kein Dreieck mit den Seitenlängen 52 cm, 49 cm und 98 cm.#1308 |
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Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 5.6 cm². Berechne die Seitenlänge $a$, die Höhe $h$ und den Winkel $\alpha$.
#1440 |
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Aus der folgenden Abbildung sind die Seitenlängen $a_1=47\,\mathrm{m}$, $b_1=38\,\mathrm{m}$ und $b_2=60\,\mathrm{m}$ bekannt.
a) Berechne die Seitenlänge $a_2$.
b) Berechne die Seitenlänge $x$.
3. Vierecke
Von einem Deltoid sind die beiden Diagonalen sowie eine Seitenlänge bekannt. Die Werte sind $e=11.6$ cm, $f=7.7$ cm und $a=5.7$ cm. Die Benennung der Größen ist der unten abgebildeten nicht maßstabsgetreuen Skizze zu entnehmen. Berechne die Seitenlänge $b$ und den Flächeninhalt $A$.
Ein Monitor soll eine Diagonale von 27.5' besitzen. Das Seitenverhältnis soll 4:3 betragen. Wie lang müssen die beiden Seitenlängen des Monitors sein? Für die Umrechnung gilt, dass 1' einer Länge von 2,54 cm entspricht.
Um wie viel Prozent wird der Flächeninhalt eines Quadrates vergrößert, wenn die Seitenlängen um 25.5 % vergrößert werden?
Gegeben ist ein Quadrat mit Seitenlänge 4.2 cm. Berechne den Radius eines Kreises, der den doppelten Flächeninhalt des Quadrates hat.
#1060 |
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Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Die Diagonalen einer Raute stehen immer senkrecht aufeinander.
Die Diagonalen eines Trapezes stehen immer senkrecht aufeinander.
Die Diagonalen eines Deltoids stehen immer senkrecht aufeinander.
Die Diagonalen eines Rechtecks stehen immer senkrecht aufeinander.
Die Diagonalen eines Parallelogramms stehen immer senkrecht aufeinander.
Die Winkel einer Raute werden von den Diagonalen halbiert.
Die Winkel eines Parallelogramms werden von den Diagonalen halbiert.#1320 |
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Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.
Jede Raute ist ein Deltoid.
Jedes Rechteck ist ein Quadrat.
Jedes Parallelogramm ist eine Raute.
Jedes Rechteck ist ein Trapez.4. Kreis und Kreisteile
In einem Restaurant hat eine kleine Pizza einen Durchmesser von 22.6 cm. Der Flächeninhalt der großen Pizza soll um zwei Drittel größer sein als jener der kleinen Pizza. Welchen Durchmesser muss die große Pizza dafür haben?
Welcher Winkel befindet sich um 10:21 Uhr zwischen Stunden- und Minutenzeiger? Zur Eindeutigkeit des Ergebnisses wähle jenen Winkel, der höchstens 180° beträgt.
#495 |
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Das Triple-20-Feld einer Dartscheibe entspricht einem Kreisringsektor mit Außenradius 170 mm und Innenradius 162 mm. Das Dartboard ist unterteilt in 20 gleiche Sektoren. Berechne anhand dieser Informationen den Flächeninhalt des Triple-20-Feldes.
#750 |
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Ein Kreis soll durch gerade Schnitte in möglichst viele Teile zerteilt werden, wobei die Teile zwischen den einzelnen Schnitten nicht bewegt werden dürfen.
a) Wie viele Teile erhält man durch vier Schnitte höchstens?
b) Finde einen Term, der die Anzahl der Teile in Abhängigkeit von der Schnittanzahl $n$ beschreibt.
#1345 |
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Eine Pizza hat einen Gesamtdurchmesser von 27.5 cm. Der Rand ist 26 mm breit. Wie viel Prozent der Gesamtfläche sind Rand?
#1377 |
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Ein Kreissektor mit dem Winkel $\alpha=53^\circ$ hat einen Umfang von 22 cm. Berechne den Radius, die Bogenlänge und den Flächeninhalt.
#1378 |
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Die Rotorblätter einer Windkraftanlage sind 36 m lang. Pro Minute werden 12.3 Umdrehungen durchgeführt.
a) Wie viele Sekunden dauert eine vollständige Umdrehung?
b) Mit welcher Geschwindigkeit (gemessen in km/h) bewegt sich die Spitze der Rotorblätter?
5. Zusammengesetzte Figuren
#275 |
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Nachfolgende Abbildung zeigt den Grundriss eines Zimmers.
Kreuze jeweils an, ob die nachfolgenden Terme geeignet sind, um die Wohnfläche zu berechnen.
$a\cdot f+c\cdot d$
$a\cdot f+b\cdot c$
$e\cdot f+c\cdot d$
$b\cdot c+e\cdot f$
$a\cdot b-d\cdot e$
Ein 165×101 mm großes Stück Stahlblech wird an den Ecken abgerundet (siehe Skizze). Der Radius dieser Rundungen beträgt 11 mm.
a) Berechne den Umfang.
b) Berechne den Flächeninhalt.
#593 |
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Bei einer Leichtathletikanlage haben die Geraden eine Länge von 84,39 m. Der Radius der Innenbahn beträgt 36,5 m. Die gesamte Laufbahn ist 9,76 m breit. Somit ist der Außenradius der Laufbahn 46,26 m. Alle Abmessungen sind unten in einer nicht maßstabgetreuen Skizze abgebildet.
a) Berechne die Länge der Innenbahn.
b) Berechne den Flächeninhalt der gesamten Laufbahn.
#713 |
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Es ist die Skizze einer geometrischen Figur abgebildet.
Für die folgenden beiden Aufgaben dürfen nur die Variablen $a,b,c,d$ verwendet werden.
a) Erstelle eine möglichst einfache Formel zur Berechnung des Umfangs der Figur.
b) Erstelle eine möglichst einfache Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Figur.
Aus einem Rechteck mit den Seitenlängen 217 cm und 128 cm wird ein Halbkreis mit Durchmesser 120 cm ausgeschnitten (siehe Skizze). Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der entstehenden Figur.
6. Vermischte Aufgaben
#331 |
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Nachfolgend ist die Skizze eines Bauteils dargestellt, welches aus 2.5 mm dickem Stahlblech hergestellt werden soll (alle Angaben in Millimeter). Achte auf die Einheiten!
a) Berechne den Flächeninhalt dieses Bauteils.
b) Berechne die Masse des Bauteils. Die Dichte von Stahl beträgt 7,85 g/cm³.
Das Dach einer 34.4 m langen und 23.8 m breiten Halle soll neu gedeckt werden. Es handelt sich dabei um ein sogenanntes Pultdach, das entlang der kürzeren Wand der Halle um 2.1 m abfallend ist und nicht über die Wände hinausragt. Bestimme den Flächeninhalt des Daches.
Es sind die Winkel $\alpha = 40°$, $\beta = 60°$, $\gamma= 48°$ und $\delta= 75°$ bekannt. Berechne den Winkel $\varepsilon$. Die nachfolgende Abbildung ist nicht maßstabsgetreu.
#732 |
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Ein Aufzug eines Krankenhauses ist 2.9 m breit und 4.5 m lang. Überprüfe rechnerisch, ob ein Krankenhausbett mit einer Breite von 1.2 m und einer Länge von 2.7 m darin um 180° gedreht werden kann. Beschreibe das Ergebnis durch einen vollständigen Satz.
Ein Raum ist 2.6 m hoch. Wie hoch darf ein 80 cm tiefer Kasten höchstens sein, damit man ihn durch frontales Kippen aufstellen kann, ohne an der Decke zu streifen? Erstelle auch eine aussagekräftige und vollständig beschriftete Skizze des Sachverhalts.
#752 |
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Drücke den Radius $r$ des grauen Kreises durch die Seitenlänge $a$ des Quadrates aus. Gib alle Rechenschritte an und erstelle eine Skizze, aus welcher der Lösungsweg hervorgeht. Beachte bei deinen Überlegungen, dass der Berührungspunkt zweier Kreise immer auf der Verbindungsgerade der Mittelpunkte liegt.
Ein ringförmiger Kerzenhalter (siehe Skizze, Bildquelle unbekannt) mit einem Durchmesser von 111 cm soll mit vier gleich langen Ketten an der Decke montiert werden, sodass er sich 1.8 m unter dieser befindet.
a) Wie lang ist jede einzelne der vier Ketten?
b) Wie viel Material muss insgesamt gekauft werden, wenn zur Sicherheit um ein Viertel mehr gekauft wird.
Rund um einen See führt ein 9.2 km langer Wanderweg, der direkt am Ufer liegt. Welchen Flächeninhalt hat die Wasseroberfläche des Sees höchstens?
#865 |
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Eine Person ist 1.7 m groß. Ihre Augen befinden sich in einer Höhe von 1.53 m. Es soll ein Spiegel gekauft werden, in dem sich die Person gerade noch vollständig sehen kann. Gib an, in welcher Höhe sich die Ober- und Unterkante befinden müssen.
#1059 |
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Begründe anhand mathematischer Argumente, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: Ein See, um welchen ein 8.4 km langer Rundweg führt, kann eine Wasseroberfläche von 3.5 km² haben.
#1106 |
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Wien befindet sich 48° nördlich des Äquators. Der Erdradius beträgt 6371 km.
a) Berechne den Umfang des entsprechenden Breitenkreises.
b) Wie schnell müsste ein Auto entlang dieses Breitenkreises fahren, um dem Sonnenuntergang zu „entkommen“?
#1336 |
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Aus einem Baumstamm mit dem Durchmesser 40 cm sollen durch horizontale Schnitte möglichst viele Holzbretter hergestellt werden. Die Breite $b$ der Holzbretter soll 20 cm betragen und ihre Dicke $d$ soll 30 mm betragen.
a) Wie viele Bretter kann man durch horizontale Schnitte höchstens erhalten?
b) Wie viel Prozent des Baumstamms sind Abfall?
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